11、舍入误差与截断误差详解

舍入误差与截断误差详解

在数值计算中，舍入误差和截断误差是两个重要的概念，它们会对计算结果的准确性产生影响。下面我们将详细介绍这两种误差，并探讨如何使用泰勒级数来估计截断误差。

1. 舍入误差

舍入误差主要包括以下几种情况：
- 大数加小数 ：当使用一个具有4位尾数和1位指数的假设计算机，将小数0.0010加到大数4000上时，在调整小数的指数使其与大数匹配后，相加结果会被截断。如(0.4000\times 10^{4}+0.0000001\times 10^{4}=0.4000001\times 10^{4})，最终被截断为(0.4000\times 10^{4})，相当于没有进行加法运算。这种误差在无穷级数的计算中可能会出现，因为级数的初始项通常比后续项大得多。为了减轻这种误差，可以按逆序对级数求和，这样每个新项的量级将与累加和相当。
- 涂抹现象 ：当求和中的单个项大于求和本身时，就会发生涂抹现象，例如在具有混合符号的级数中。
- 内积计算 ：内积计算如(\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})非常常见，特别是在求解联立线性代数方程时。这种求和容易产生舍入误差，因此通常希望以双精度计算此类求和，如MATLAB中自动进行的那样。

2. 截断误差

截断误差是由于使用近似方法代替精确数学过程而产生的。例如，用有限差分方程(\frac{d\upsilon}{dt}\approx\frac{\Delta\upsilon}{\