9、微观结构描述符的数值实现

微观结构描述符的数值实现

1. 引言

为了构建材料结构与性能之间的关系，需要在标准化离散空间域上定义微观结构函数，以获得有意义的材料结构特征空间表示。然而，在许多情况下，很难对给定材料结构集中的每个材料结构，在标准化域上实验测量或数值计算其材料局部状态。例如，在晶体原子系统中，空间域由晶格矢量决定，即使是少量这样的系统，也很难找到一个合适的体素长度，使每个晶格都能用整数个体素表示。因此，在计算给定材料结构的特征空间表示之前，必须先在标准化空间域上近似其微观结构函数。

2. 标准化离散空间域的定义

2.1 相关参数说明

假设所有离散空间域（标准化和非标准化）都是立方体。给定一个由体素索引集合 $\mathbf{S}$ 定义的非标准化离散空间域，其边长为 $L$，体素长度为 $l$，将标准化离散空间域 $\mathbf{\Sigma}$ 定义为最接近的近似，其边长 $\Lambda$ 是标准体素长度 $\lambda$ 的整数倍。

2.2 $\Lambda$ 的两种定义

根据“最接近”近似的定义，$\Lambda$ 可以定义为：
- $\Lambda^{(1)} = \lambda \lfloor \frac{L}{\lambda} + 0.5 \rfloor$
- $\Lambda^{(2)} = \lambda \lceil \frac{L}{\lambda} \rceil$

其中，$\lfloor \cdot \rfloor$ 和 $\lceil \cdot \rceil$ 分别是向下取整和向上取整函数。这些定义与 $L$ 的关系为：
$L - 0.5\la