48、双比特局部链的子迹研究

双比特局部链的子迹研究

1. 双比特局部链与子系统基础

在简单的局部链中，就能看到由子迹定义的子系统的概念。以一个特殊的双比特局部链为例，链的每个位点有两个 Ising 自旋。局部状态数量 $N = 4$，所以时间局部子系统的步演化算子和密度矩阵是 $4×4$ 矩阵。为了通过子迹定义一个具有封闭时间演化的子系统，需先通过合适的相似变换将 $\hat{S}$ 变为块对角形式，即 $\tilde{S} = D \hat{S}D^{-1}$。

2. 子系统的复密度矩阵

一般来说，将 $\hat{S}$ 变换为 $\tilde{S}$ 的矩阵 $D$ 不是实矩阵。因此，在新基下密度矩阵 $\tilde{\rho}$ 不一定是实的，子系统的密度矩阵 $\rho^{(s)}$ 可能是复矩阵。以唯一跳跃步演化算子为例：
$\hat{S} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
其特征值为 $\lambda = (1, -1, i, -i)$。选择一个基，使得 $\tilde{S} = D \hat{S}D^{-1}$ 分解为 $\tilde{S} = \tilde{S} 1 \otimes \tilde{S}_2$，其中 $\tilde{S}_1$ 和 $\tilde{S}_2$ 的特征值分别为 $\tilde{\lambda}^{(1)} = (i, -i)