12、时间、演化与经典密度矩阵：从理论到应用

时间、演化与经典密度矩阵：从理论到应用

在研究复杂系统的演化过程中，时间的概念与系统状态的变化紧密相连。我们将探讨系统演化的规律，以及经典密度矩阵在描述这些系统中的重要作用。

1. 系统演化与时间的关系

对于非平凡解，系数 $a_i(m)$ 和 $\overline{a} i(m)$ 依赖于 $m$，它们的演化由约化步演化算符 $\hat{S} {ij}$ 描述：
[
\begin{cases}
a_i(m + 1) = \hat{S} {ij}a_j(m) \
\overline{a}_i(m + 1) = (\hat{S}^T)^{-1} {ij}\overline{a}_j(m)
\end{cases}
]
从形式上看，约化步演化算符可通过相似变换得到，该变换使 $\hat{S}$ 在大特征值 $|\lambda_i| = 1$ 和小特征值 $|\lambda_k| < 1 - g$ 下呈块对角形式。在主体部分，演化要么是旋转，要么是静态的。在对应特征值 $|\lambda_i| = 1$ 的特征向量子空间中，波函数向量的长度不会收缩或增加，这使得振荡演化成为可能。

现实系统中的物理时间涉及振荡的期望值。当振荡周期比 $\varepsilon$ 长时，对于唯一跳跃链或 $\overline{N} \gg 1$ 的混合情况是可能的。当 $M \to \infty$ 时，原始边界 $m = 0$ 和 $m = M$ 可能分别对应于无限过去或无限未来。与较小特征值 $\lambda_k$（$|\lambda_k| \leq 1 - g$）的特征函数相关的边界信息