27、可观测量与算符：经典统计中的深入探索

可观测量与算符：经典统计中的深入探索

1. 密度矩阵中的概率信息

密度矩阵包含的局部概率信息比时间局部概率分布中的信息更丰富。时间局部概率分布对应于密度矩阵的对角元素，而其非对角元素存储的信息可用于计算更多可观测量的期望值，从而将局部可观测量的概念扩展到严格局部可观测量之外。例如，若已知步长演化算符 $\hat{S}(m)$，就可以找到与相邻自旋 $s(m + 1)$ 相关的可观测量 $B(m + 1)$ 的算符，使得 $\langle B(m + 1)\rangle$ 能从 $\rho’(m)$ 计算得出。同时，从密度矩阵还能计算如前一节提到的动量等统计可观测量的期望值。

2. 局部可观测量与非对易算符

• 相邻可观测量 ：对于给定模型和步长演化算符 $\hat{S}(t)$，经典密度矩阵 $\rho’(m)$ 可用于计算可观测量 $A(m + 1)$ 或 $A(m - 1)$ 的期望值。其计算遵循量子规则：
  $\langle A(m + 1)\rangle = tr{\rho’(m)\hat{A}(m + 1,m)}$
  其中，$\hat{A}(m + 1,m)$ 是与可观测量 $A(m + 1) = A(s(m + 1))$ 相关的算符，第二个指标 $m$ 表示该算符对应于时间 $m$ 的局部子系统。通常，此算符在占有数基下是非对角的，因此上述迹运算涉及 $\rho’(m)$ 的非对角元素。

在时间 $m + 1$ 的局部子系统中，$A(m + 1) = A(s(m + 1))$ 是严格局部可观测量，有：
$\langle A(m + 1)\rangle = t