7、无噪声量子理论：可逆演化与测量的深入解析

无噪声量子理论：可逆演化与测量的深入解析

1. 完备性关系与量子态表示

在量子理论中，存在一个重要的完备性关系。对于投影到一维子空间的情况，利用线性性质可得到等式：
[|\psi\rangle = (|+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|) |\psi\rangle]
这表明算符 (|+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|) 等于单位算符，即 (I = |+\rangle\langle +| + |-\rangle\langle -|)，此关系被称为完备性关系或单位分解。对于任意正交基，都可通过对由每个正交基态形成的秩为 1 的投影算符求和来构造单位分解。例如，计算基态可表示为 (I = |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|)。这一简单技巧为在任何基下找到量子态的表示提供了方法。

2. 可逆演化

物理系统会随时间演化，如对电子施加磁场可改变其自旋，用激光脉冲激发原子可使电子从基态跃迁到激发态。对于封闭量子系统，其演化由薛定谔方程支配，但这里我们关注其重要推论：在不获取系统状态信息（即不进行测量）时，封闭量子系统的演化是可逆的。

以单量子比特的 NOT 门为例，其作用为 (|0\rangle \to |1\rangle)，(|1\rangle \to |0\rangle)。在经典世界中，NOT 门只是翻转输入经典比特的值；在量子世界里，它翻转基态 (|0\rangle) 和 (|1\rangle)。由于再次应用 NOT 门可恢复原始输入状态，所以 NOT 门是可逆的，它是自身的逆。

一般来