69、随机正则图中最小化问题的贪心算法与图论相关研究

随机正则图中最小化问题的贪心算法与图论相关研究

1. 图论中的基本概念与定理

在图论研究中，有一些重要的概念和定理。首先，对于图 (G)，其团序列是一个非空的节点子集序列 (K_1, \ldots, K_p)，与之关联的是一系列图 (G_0 := G, G_1, \ldots, G_p)，其中 (K_i) 是 (G_{i - 1}) 的团（(i = 1, \ldots, p)），并且 (G_i = G_{i - 1}/E(K_i)) 是通过收缩 (G_{i - 1}) 中 (K_i) 里的边得到的图（(i = 1, \ldots, p - 1)）。团序列的长度为 (p)，若 (G_p) 是由单个节点组成的图，则称该团序列是完整的，用 (\rho_G) 表示图 (G) 的最短完整团序列的长度。

有定理表明，对于任何图 (G)，(\gamma_G \leq \rho_G)。证明过程如下：设 (F) 是任意的割集填充，根据某个事实（Fact 7），(E(K_1) \cap C \neq \varnothing) 对于 (F) 中至多一个割 (C) 成立。因此，(F) 中的每个割，除了至多一个，都是 (G/E(K_1)) 的割，通过归纳法可完成证明。

另外，有一种图被称为三角化图（或弦图），即不包含长度为 4 或更长的无弦环的图。对于三角化图 (G)，有 (\gamma_G = \rho_G)，并且三角化图上的割集填充问题可以在 (O(m)) 时间内解决。证明时，Dirac 观察到每个三角化图 (G) 都有一个单纯节点，即一个节点 (v)，其邻居 (N(v)) 在 (G) 中构成一个团。取割 (\delta(v))，并通过收缩团 (N(v) \cup {v}) 从 (G) 得到 (G’)