64、近似距离标记方案与分层图绘制的参数化复杂度研究

近似距离标记方案与分层图绘制的参数化复杂度研究

近似距离标记方案

在图论中，近似距离标记方案是一个重要的研究领域，它旨在为图中的节点分配标记，以便能够高效地查询节点之间的距离。

树和有界树宽图的距离标记

树的标记方案可以与有界树宽图的树分解方案结合使用。对于树宽受 $r(n)$ 限制的图，存在精确的距离标记方案，使用 $O(R(n) \log n)$ 位标记，查询时间为 $O(R(n))$，其中 $R(n) = \sum_{i = 0}^{\log n} r(n/2^i)$。对于加权 $n$ 节点、树宽至多为 $r(n)$ 且加权直径为 $W$ 的图族，存在 $(1 + 1 / \log W)$ - 乘法（或精确）距离标记方案，标记大小分别为 $O(R(n) \log \log W)$（或 $O(R(n) \log W)$）。并且，当 $W = n^{O(1)}$ 时，距离解码器的时间复杂度为 $O(r(n))$。这意味着 $n$ 节点的树和有界树宽图可以使用 $O(\log^2 n)$ 位标记实现精确距离标记，查询时间为常数。

乘法方案的下界

为了证明一般图上 $s$ - 乘法距离标记方案的下界，引入了 $(A, k)$ - 族的概念。对于 $(A, k)$ - 族 $F$（$k > 1$），对于任何 $s < k$，有 $\ell(s,0)(F) \geq (\log |F|) / |A|$。对于任意具有 $n$ 个节点、$m$ 条边和围长 $g$ 的连通图 $G$，其所有 $n$ 节点连通子图组成的族 $S_G$ 满足，对于 $1 \leq s < g - 1$，$\ell(s,0)(S_G) \geq m