52、图划分问题与欧洲亚式期权定价技术解析

图划分问题与欧洲亚式期权定价技术解析

图划分问题

在图划分问题中，有一种方法在处理“稀疏”和“规则”图时表现出色，但在处理“密集”图时效果欠佳。不过，在大多数图划分问题的实际应用场景，如电路布局或负载均衡中，所涉及的图往往是相对“稀疏”和“规则”的，所以该方法在这些应用中适用性良好。

理论分析

• 新边界的上界 ：对于给定的图 $G = (V, E)$ 存在不可行割 $V = V_1 ∪ V_2$ 的情况。1 - 1 - MC 边界有上界 $\frac{N^2}{4N_1N_2}CutSize(V_1, V_2)$，因为有特定数量的商品必须穿过给定的割。从给定不可行割的存在，还能得出 VarMC 边界的上界为 $\frac{N}{2·min{N_1,N_2}}CutSize(V_1, V_2)$。而对于 MVarMC 边界，由于没有流量被迫穿过特定割，所以无法得出其上界。这表明三种不同的多商品流实例对给定限制的反应不同，实例越灵活，边界可能越好。
• 改进图划分问题的下界 ：新边界可用于改进某些图类的图划分问题的下界。以蝴蝶图为例，维度为 $d$ 的蝴蝶图（无环绕边）有一个简单割，割大小为 $2^d$。已知二分宽度约为 $2(\sqrt{2} - 1)2^d + o(2^d) ≈ 0.83 · 2^d$，1 - 1 - MC 边界给出的下界为 $(\frac{1}{2} + o(1))2^d$。通过 VarMC 实例，即只有第一层和最后一层的 $2^d$ 个顶点向其他所有顶点发送大小为 1 的商品，可将下界提高到 $(\frac{2}{3} + o(1))2^d$。同样，