47、无短环的环覆盖计算算法解析

无短环的环覆盖计算算法解析

1. 背景知识

在图论中，图的环覆盖是一个生成子图，其中图的每个节点恰好是一个简单环的一部分。而 k - 环覆盖则是指每个环的长度至少为 k 的环覆盖。对于有向图和无向图，判断其是否存在 k - 环覆盖的问题分别称为 k - DCC 和 k - UCC。当图的边权为 1 或 2 时，寻找最小权 k - 环覆盖的问题则被称为 Min - k - DCC 和 Min - k - UCC。这些问题在图论研究中具有重要意义，并且与旅行商问题、节点不相交路径打包问题等密切相关。

2. 过往研究成果

• 有向图相关问题 ：
  • 寻找有向图的 2 - 环覆盖（2 - DCC）和最小权 2 - 环覆盖（Min - 2 - DCC）问题可以通过归约为二分匹配问题在多项式时间内解决。但对于 k ≥ 3 的情况，此前并无相关研究成果。
• 无向图相关问题 ：
  • 寻找无向图的 3 - 环覆盖（3 - UCC）问题可以利用 Tutte 归约为经典的无向图完美匹配问题，该问题可在多项式时间内解决，因此 3 - UCC 和 Min - 3 - UCC 都能在多项式时间内求解。
  • Hartvigsen 设计了用于解决 4 - UCC 的多项式时间算法，该算法也适用于 Min - 4 - UCC。此外，他还给出了在权重为 1 的边构成二分图的情况下，计算最小权 5 - 环覆盖的多项式时间算法。
  • 当 k ≥ 6 时，k - UCC 问题被证明