36、几何查询的属性测试：高效算法与应用探索

几何查询的属性测试：高效算法与应用探索

1. 不同接近度度量之间的关系

在属性测试中，存在四种不同的接近度度量，分别在定义 2.1 - 2.4 中给出。一个点集 P 可能根据汉明距离接近凸位置，但根据扰动、邻域和体积度量却离凸位置很远；反之亦然，P 可能根据扰动、邻域和体积度量接近凸位置，但在汉明距离度量下不满足。
- 引理 2.1 ：对于凸位置的属性测试，根据扰动度量存在查询复杂度为 T(n, ε) 的 ε - 测试器，当且仅当根据邻域度量存在查询复杂度为 T(n, Θ(ε)) 的 Θ(ε) - 测试器。这表明扰动和邻域度量在测试器的渐近复杂度方面有一定的等价性。
- 引理 2.2 ：对于体积度量的 εd - 测试器是邻域度量的 O(ε) - 测试器。不过，我们未能找到邻域和体积度量之间更全面的关系，体积度量似乎更为复杂。

2. 基于几何查询的新模型

传统属性测试中，测试器的复杂度通常以检查的输入“原子对象”数量，即对输入的查询次数来衡量。例如，对于测试点集是否处于凸位置的问题，通常假设可以使用“输入中第 k 个点的位置是什么”这样的查询。在标准查询复杂度中，额外的计算工作不被计算在内。然而，这种查询复杂度的概念并不适合研究几何属性或非汉明距离的距离度量。
为了对几何属性进行属性测试并获得高效（亚线性时间）算法，我们需要重新考虑和改变查询复杂度的概念。新模型允许使用更复杂的查询，即利用输入的某些几何属性的查询。具体来说，我们采用的计算模型以对输入的范围查询为基本操作，查询复杂度就是对输入进行范围查询的次数。
形式上，给定一个 Rd 中的未知点集 P，由一个未知