37、几何查询中的属性测试与最小颜色覆盖对象求解

几何查询中的属性测试与最小颜色覆盖对象求解

1. 引言

在平面上给定一组 $n$ 个点和 $k$（$k \leq n$）种颜色，每个点关联一种颜色。若一个平面区域包含每种颜色的至少一个点，则称该区域为颜色覆盖区域。对于不同类型的区域，我们关注的是该类型中最小的颜色覆盖区域。

这个问题最初源于选址规划。假设存在 $k$ 种设施，如学校、邮局、超市等，用平面上的 $n$ 个着色点来建模，每种设施对应一种颜色。选择居住位置的一个基本目标是在周边拥有每种设施类型的至少一个代表，而“周边”有多种具体定义。一个自然的问题是寻找最小的颜色覆盖圆，可使用 Voronoi 曲面的上包络来找到它，其算法运行时间为 $O(kn \log n)$。同样，也能确定最小的颜色覆盖轴平行正方形和其他具有固定方向的对象。

接下来，我们将探讨如何计算最小的颜色覆盖轴平行矩形和最窄的颜色覆盖条带。

2. 相关优化问题回顾

对于一组 $n$ 个点的集合 $S$，已有一些相关的优化问题在文献中被研究，这些问题的动机来自统计聚类或模式识别。以下是一些例子：
| 问题描述 | 解决方法及时间复杂度 |
| — | — |
| 包含 $k$ 个点的最小周长凸多边形 | 可使用 Dobkin 等人、Aggarwal 等人或 Eppstein 和 Erickson 的方法，最后一种方法的时间复杂度为 $O(n \log n + k^3n)$ |
| 包含 $k$ 个点的最小面积凸多边形 | 结合 Eppstein 等人和 Eppstein 和 Erickson 的结果，时间复杂度为 $O(n^2 \log n + kn^2 \min(k^2, n