17、布谷鸟哈希算法：原理、分析与实验对比

布谷鸟哈希算法：原理、分析与实验对比

1. 哈希函数与通用哈希族

在哈希算法中，对于集合 (U = {0, \ldots, p - 1}) 和范围 (R = {0, \ldots, r - 1})（其中 (p) 为素数），存在一个标准的 ((2, k)) - 通用哈希族。对于每一组 (0 \leq a_0, a_1, \ldots, a_{k - 1} < p) 的选择，该族包含函数 (h(x) = ((\sum_{l = 0}^{k - 1} a_l x^l) \bmod p) \bmod r)。

通常假设来自 (U) 的键能放入一个机器字中，即 (U = {0, 1}^w)。对于长键，可以通过从 ((O(1), 2)) - 通用哈希族中为键的每个字选择一个随机函数，将键映射为各个函数值的按位异或，从而将长键映射为短键。这样选择的函数可以将集合 (S) 单射地映射到 ({0, 1}^{2 \log n + O(1)})，有效将全域大小缩减至 (O(n^2))。

Siegel 的研究表明，对于任意常数 (\epsilon > 0)，若全域大小为 (n^{O(1)})，则存在一个 ((O(1), O(\log n))) - 通用哈希族，其评估时间为常数，使用空间和初始化时间为 (O(n^{\epsilon}))，不过评估时间的常数因子较高。

在哈希表中，会预留一个特殊值 (\perp \in U) 来表示空单元格。对于双重哈希，还会使用另一个特殊值来表示已删除的键。

2. 布谷鸟哈希算法

布谷鸟哈希是一种对静态字典进行动态化处理的算法。它使用两个长度为 (r) 的哈希表 (T_1) 和 (T_2)，以及两个哈希函数 (