16、简单最小完美哈希与布谷鸟哈希：高效字典方案解析

简单最小完美哈希与布谷鸟哈希：高效字典方案解析

1. 简单最小完美哈希函数分析

在哈希函数的选择与分析中，我们旨在找到满足特定条件的函数 (f) 和 (g)。这些函数将从特定形式的函数族 (H_{t}^{p,s}) 中选取，其定义为：
[H_{t}^{p,s} = \left{ x \mapsto \left(\left(\sum_{i=0}^{t - 1} a_{i}x^{i}\right) \bmod p\right) \bmod s : 0 \leq a_{0}, \ldots, a_{t - 1} < p \right}]
其中 (t) 为正整数，(p) 是大于集合 (S) 中最大元素的质数，对于函数 (f)，(s = n)；对于函数 (g)，(s = m)。

多项式在任意域上的唯一插值性质表明，若 (x_1, \ldots, x_t \in S) 互不相同，且 (a_0, \ldots, a_{t - 1}) 独立地从 ({0, \ldots, p - 1}) 的均匀分布中选取，那么随机变量 (\left(\sum_{i=0}^{t - 1} a_{i}x_{i}^{j}\right) \bmod p)（(j = 1, \ldots, t)）独立且均匀地分布在 ({0, \ldots, p - 1}) 上。

对于任意 (x \in S) 和 (j \in {0, \ldots, s - 1})，有 (Pr(h(x) = j) = \pi_{s,j})，其中：
[\pi_{s,j} =
\begin{cases}
\frac{1}{p} \cdot \lceil\frac{p}{s}\rceil, & \te