33、自旋 - 轨道耦合与原子系统的能量分析

自旋 - 轨道耦合与原子系统的能量分析

1. 狄拉克方程与氢原子能量

狄拉克方程具有相对论属性，必然包含电子自旋等效应。其能量本征值的精确表达式为：
[E_{nj} = m_ec^2 \left(1 + \frac{(Z\alpha)^2}{\left[n - \left(j + \frac{1}{2}\right)\right] + \sqrt{\left(j + \frac{1}{2}\right)^2 - (Z\alpha)^2}}\right)]
将该式展开（设 (z = 1)）可得：
[E_{nj} = m_ec^2 + E_n^{(0)} + \frac{\alpha^2}{n^2} E_n^{(0)} \left(\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right) + \cdots]
其中，展开式的第三项与精细结构修正项相同。由于狄拉克哈密顿量未展开以求出精确能量本征值，所以无法确定各项是来自相对论动能、自旋 - 轨道还是达尔文修正。狄拉克方程精确解得到的能量本征值本质上是相对论性的，无法区分单个物理相互作用。在极限情况下，自旋 - 轨道项会简化为达尔文项，因为它们都源于相对论。而且，狄拉克方程精确解得到的氢原子本征值不包括兰姆位移和超精细结构效应，这两项能量修正都大于 (\alpha^4E_n^{(0)})，所以计算上述精确表达式展开式的其余项价值不大。

2. 自旋 - 轨道耦合与原子核壳层模型

自旋 - 轨道相互作用并不局限于原子中的电子，它也是导致原子核能级间距出现幻数的原因。在 (n = 3) 之前，无需打破简并来解释原子核壳层结构，但 (n = 3) 之后，需要调整能级间