15、最弱束缚电子理论：精细结构计算与自旋 - 轨道耦合系数分析

最弱束缚电子理论：精细结构计算与自旋 - 轨道耦合系数分析

1. 精细结构计算的公式推导

在忽略 Breit 相互作用并采用中心场近似的情况下，最弱束缚电子 μ 的哈密顿量 $H’ {\mu}$ 可由相关方程给出。对该方程进行改写后，得到如下形式：
[
\begin{cases}
\frac{1}{2}[P(\mu)]^2 + V(r {\mu}) - \frac{1}{8c^2}[P(\mu)]^4 \
+ \frac{1}{2c^2r_{\mu}}\frac{dV(r_{\mu})}{dr_{\mu}}(s_{\mu}l_{\mu}) + \frac{1}{8c^2}\nabla^2V(r_{\mu})
\end{cases}\psi’ {\mu} = \epsilon’ {\mu}\psi’_{\mu}
]
当满足非相对论近似条件 $\upsilon/c \leq 1$ 时，此方程即为单电子狄拉克方程的非相对论近似。

在上述方程中，大括号内的前两项是中心场近似下非相对论薛定谔方程的哈密顿量，记为 $\hat{H} {\mu}^0$。在 WBEPM 理论中，若 $\hat{H} {\mu}^0$ 采用特定公式，即：
[
\hat{H}’‘ {\mu} = -\frac{1}{2}\nabla^2 - \frac{Z’}{r} + \frac{d(d + 1) + 2dl}{2r^2}
]
则 $\hat{H}’‘ {\mu}$ 的本征函数可精确求解。

方程左边大括号内的第三项是质速