28、量子物理中的莫尔斯势与氢原子研究

量子物理中的莫尔斯势与氢原子研究

1. 自旋 - 轨道耦合与简并能级分裂

在量子物理中，简并的各向同性振子能级在自旋 - 轨道耦合作用下会发生分裂。这种分裂现象对于理解原子核的壳层结构具有重要意义。例如，图中展示了直到 (n = 3) 的简并各向同性振子能级，这些简并能级经自旋 - 轨道耦合后被分开，形成的壳层由粗虚线隔开。与原子情况不同，这里的自旋 - 轨道耦合“很强”，其导致的能级移动与未移动能级间的间距处于同一数量级，而在原子情形中，自旋 - 轨道相互作用只是总能量间距的一小部分。

2. 三维莫尔斯势

2.1 有效势的引入

莫尔斯势是一种广泛用于描述双原子分子的势能函数。之前在求解其定态薛定谔方程（TISE）时，假设分子不旋转，可将问题当作一维处理。若考虑分子旋转，则需在势能中加入离心项以形成有效势：
[U_{eff}(r) = D_e\left(e^{-2\alpha(r - r_e)} - 2e^{-\alpha(r - r_e)}\right) + \frac{j(j + 1)\hbar^2}{2\mu r^2}]
其中，(r) 是核间距，(D_e)、(\alpha) 和 (r_e) 是每个双原子分子特有的常数，(\mu) 是两个原子核的约化质量，量子数 (\ell) 被 (j) 取代，(j) 是与分子旋转相关的量子数。

2.2 刚性转子近似及其局限性

当 (j = 0) 时，之前的解与使用上述有效势的径向解相同。对于 (j\neq0) 的情况，可采用刚性转子近似，即认为即使在激发转动能级下，核间距 (r_e) 也无明显变化。在该近似下，只需在离心项中将坐标 (r) 替换为常数