12、量子物理中的势能问题解析

量子物理中的势能问题解析

1. 势能阶跃

1.1 氦原子散射数据

在研究氦原子弹性散射数据时，发现纵坐标代表氦原子散射的概率。在能量 (E = 0.1 meV) 附近存在一个最小值，即 Ramsauer 最小值，这对应着透射系数的最大值。这一现象代表了一个氦原子对另一个氦原子所呈现的势垒的德布罗意波长的匹配。

1.2 势能阶跃的一般情况

势能阶跃最初看似是势垒的一个特殊情况。我们可以通过取 (L \to \infty) 的适当极限来获得反射和透射系数。
- 当 (E < U_0) 时 ：由于 (\lim_{x \to \infty} \sinh^2 x = \infty)，从相关方程可知反射系数为 1，透射系数为 0。这是合理的，因为无论粒子穿透半无限势垒多远，最终都会被弹回区域 I。
- 当 (E > U_0) 时 ：存在一些数学上的难题，因为不能直接取正弦函数在自变量趋于无穷时的极限，并且要考虑粒子在两个空间区域中的速度不同。
- 波函数表示为：
(\psi_I (x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx})（(x < 0)）
(\psi_{II} (x) = Fe^{ik’x})（(0 < x)）
其中 (k = \sqrt{2mE / \hbar^2}) 和 (k’ = \sqrt{2m (E - U_0) / \hbar^2}) 分别为区域 I 和 II 的波数。
- 概率流为：
(j_I (x) = \frac{\hbar k}{m} (|A|^2 - |