17、量子力学中的定理与图像解析

量子力学中的定理与图像解析

在量子力学的研究中，有几个重要的定理和图像值得深入探讨，它们对于理解量子系统的行为和性质起着关键作用。

1. 埃伦费斯特定理（Ehrenfest Theorem）

埃伦费斯特定理建立了经典力学和量子力学变量之间的联系。通过对任意厄米算符 $\hat{A}$ 的期望值的时间导数进行推导，可以得到埃伦费斯特定理的表达式。

• 定理推导 ：
  • 从含时薛定谔方程（TDSE）及其复共轭出发，消除 $|\psi\rangle$ 和 $\langle\psi|$ 关于时间的偏导数，得到：
    [
    \frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}=\frac{d\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle}{dt}=\langle\psi|\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}|\psi\rangle+\frac{\partial\langle\psi|}{\partial t}\hat{A}|\psi\rangle+\langle\psi|\hat{A}\frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}
    ]
  • 进一步推导可得：
    [
    \frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}=\frac{i}{\hbar}\langle\psi|[\hat{H},\hat{A}]|\psi\rangle+\langle\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\rangle
    ]