73、量子纠错与容错中的哈密顿方法解析

量子纠错与容错中的哈密顿方法解析

1. 微观哈密顿模型

在量子比特的物理实现中，存在多种情况使得环境自由度与量子比特之间的相互作用可以表示为特定形式。以下是几种常见的情况：
| 物理实现 | 相互作用描述 | 场 (f_{\alpha}(x)) 含义 |
| — | — | — |
| 受限电子自旋 | 砷化镓横向量子点中受限电子的自旋通过超精细相互作用与核自旋耦合 | 局部核磁化强度的分量，即 Overhauser 场 |
| 超导量子比特 | 最小耦合模型出现在超导（约瑟夫森）量子比特中 | 与电磁涨落的耦合，涨落源于电流和电压的 Johnson - Nyquist 噪声，可用玻色场描述 |
| 基于电荷运动的量子比特 | 如双点电荷量子比特或嵌入半导体矩阵中的杂质 | 与声子的耦合，也可用玻色自由度表示 |
| 局域磁矩 | 若量子比特是嵌入导电介质中的局域磁矩 | 表示巡游电子自旋与局域磁矩之间的耦合，即 Kondo 问题 |

对于许多量子比特系统，特别是固态环境下，典型的环境是玻色的。常见的相互作用为：
[V = \sum_{x} \sum_{\alpha = {x,y,z}} \sigma_{\alpha}(x) \sum_{q} \lambda_{\alpha,q} e^{i\mathbf{q} \cdot \mathbf{x}} (a_{\mathbf{q}} + a_{-\mathbf{q}}^{\dagger})]
其中，玻色场 (a_{\mathbf{q}}) 的自由动力学通常由二次哈密顿量描述：
[H_{bath} = \sum_{\mathbf{q}} \omega_{\mathbf{