16、神经连接理论与量子网络模型解析

神经连接理论与量子网络模型解析

1. 网络连接特性与黑方块数量

在研究中，我们注意到经过调谐的b网络（标记为$A_i$）的张量积具有一些独特性质。这些网络可以通过底物或体积连接或信号传导进行调谐或调制，从而实现图论中类似全连接团的对称性，这种对称性具有一定的选择优势。并且，类似条形码的结构具有分形特性，每个$A_i$通常可以分解为子网络状态空间的直和，直至达到单个b神经元的层面。也就是说，图中的每个黑色方块都可以被另一个完整的条形码所替代，如此递归，直到达到单个b神经元的级别。

1.1 黑方块数量的计算

对于一个具有$n$个输入/列的条形码，其中黑方块的数量为$n2^{n - 1}$。我们可以通过以下方式来理解：
- 对于每个单输入，有$ \binom{n}{1} \times 1$个黑方块；
- 对于输入的双元组，有$ \binom{n}{2} \times 2$个黑方块；
- 对于输入的三元组，有$ \binom{n}{3} \times 3$个黑方块；
- 以此类推。

因此，黑方块的总数为：
[
\sum_{k = 1}^{n} k \binom{n}{k} = n2^{n - 1}
]

这个等式可以通过对左边的求和项进行操作，或者利用二项式定理展开$(1 + x)^n$，对两边关于$x$求导，然后令$x = 1$来证明。

2. 相互作用哈密顿量

2.1 网络哈密顿量

对于一个由b神经元组成的网络$N^b_A$，其哈密顿量（即动力学算子的无穷小形式）具有以下形式：
[
H_{