68、正则交互下并发系统的收敛性研究

正则交互下并发系统的收敛性研究

1. 引言

在与物理过程交互的并发和分布式系统中，收敛性或渐近稳定性是关键要求。简单来说，若系统 A 在无限执行过程中，其状态随着时间推移，在状态空间 X 的某种拓扑结构下，越来越接近目标状态 x∗，则称系统 A 收敛到目标状态 x∗。对于软件系统，终止性是常见的活性属性；而对于包含软件和物理组件的系统，更普遍的收敛性属性则具有重要意义，例如移动机器人形成空间模式的算法、耦合振荡器的同步以及切换网络上的分布式控制算法等。

控制理论领域对分布式系统收敛性的充要条件进行了广泛研究，主要考虑了两种分布式计算模型：
- 同步模型 ：整个系统的状态 x ∈ X 根据差分方程 xk + 1 = f(xk) 或微分方程 ˙x = f(x) 演化，其中 f : X → X。这种情况下的收敛条件基于 f 的特征值推导得出。
- 异步模型 ：系统的演化由一组过渡函数 {Tk} 指定，每个 Tk : X → X，系统的执行是通过将 Tk 的无限序列 σ 应用于起始状态得到的。Tsitsiklis 针对满足特定公平假设的执行收敛性，提出了一组必要和充分条件。他要求确定一组由全序索引集索引的收缩邻域，这些邻域收敛到 x∗ 并满足两个性质：一是邻域具有不变性，即对于任何邻域 U 和每个 Tk，当 x ∈ U 时，Tk(x) ∈ U；二是对于每个邻域 U，必须存在一个过渡 TU 将 U 转换为一个严格更小的邻域。当这样的邻域“系统”存在时，在每个过渡 Tk 被无限次应用的执行中，系统可以被证明收敛到 x∗，并且系统的收敛也意味着这样的邻域系统存在。

本文将 Tsitsiklis 的研