51、基于有效不等式的 WCSP 下界计算方法解析

基于有效不等式的 WCSP 下界计算方法解析

在约束优化领域，加权约束满足问题（WCSP）是一个重要的研究课题。本文将深入探讨基于有效不等式的 WCSP 下界计算方法，通过对相关概念、模型和算法的详细介绍，为解决 WCSP 提供新的思路和方法。

1. WCSP 基础概念

1.1 WCSP 形式化定义

一个二元 WCSP 由四元组 $(X, D, C, Sv)$ 定义：
- 估值结构 $Sv$ ：$Sv = ({0, 1, …, h}, ⊕, ≤)$，其中 $≤$ 是整数间的常规顺序关系，$h$ 是一个整数（上界），$⊕$ 是用于组合成本的操作，$a ⊕b = min(a + b, h)$，$a ⊖b$ 根据 $a$ 是否等于 $h$ 有不同取值。
- 变量集合 $X$ ：$X = {X_1, X_2, …, X_n}$，包含 $n$ 个变量。
- 域集合 $D$ ：$D = {D_1, D_2, …, D_n}$，每个 $D_i$ 是变量 $X_i$ 的可能取值集合，且 $d_i ≤ d$。
- 约束集合 $C$ ：由一个常量约束 $c_∅$、$n$ 个一元加权约束 $c_1, c_2, …, c_n$ 和 $e$ 个加权二元约束组成。一元约束 $c_i$ 为变量 $X_i$ 的每个取值 $k$ 分配一个成本 $c_i(k) ∈ {0, 1, …, h}$，二元约束 $c_{ij}$ 为每对 $(k, l) ∈ D_i × D_j$ 分配一个成本 $c_{ij}(k, l) ∈ {0, 1, …,