51、基于有效不等式的WCSP下界计算方法

基于有效不等式的WCSP下界计算方法

在约束满足问题（CSP）的研究中，加权约束满足问题（WCSP）是一个重要的研究方向。WCSP旨在找到一个满足所有约束条件且成本最小的赋值。本文将介绍一种基于有效不等式的方法来计算WCSP的下界，该方法能够在计算时间和下界质量之间取得较好的平衡。

1. WCSP基础概念

1.1 WCSP形式化定义

一个二元WCSP由四元组$(X, D, C, Sv)$定义：
- 赋值结构$Sv$ ：$Sv = ({0, 1, …, h}, ⊕, ≤)$，其中$≤$是整数间的常规顺序关系，$h$是一个整数（上界），$⊕$是用于组合成本的操作，$a ⊕b = min(a + b, h)$，$a ⊖b$在$a ≠ h$时为$a - b$，否则为$h$。在本文中，假设$h$为无穷大，此时$⊕$和$⊖$等价于常规的加法和减法。
- 变量集合$X$ ：$X = {X_1, X_2, …, X_n}$，包含$n$个变量。
- 定义域集合$D$ ：$D = {D_1, D_2, …, D_n}$，每个$D_i$是变量$X_i$的可能取值集合，$|D_i| = d_i ≤ d$。
- 约束集合$C$ ：由一个常量约束$c_∅$、$n$个一元加权约束$c_1, c_2, …, c_n$和$e$个加权二元约束组成。一元约束$c_i$为变量$X_i$的每个取值$k$分配一个成本$c_i(k) ∈ {0, 1, …, h}$，二元约束$c_{ij}$为变量$X_i$和$X_j$的每个取值对$(