21、环境数据分析中的假设检验与概率密度函数

环境数据分析中的假设检验与概率密度函数

1. 假设检验基础与误差分析

在数据分析中，我们常常会面临判断结果是否显著的问题。当我们进行假设检验时，存在一定的错误概率。例如，一个数值暗示着每二十次中就会有一次对结果的显著性得出错误结论，在高风险情况下，需要更高的拒绝概率。

以黑岩森林温度数据集的长期趋势分析为例，温度变化的估计速率为 -0.03 °C/年，2σ 误差为 ±10⁻⁵ °C/年。这里合理的零假设是温度变化率与零的差异仅由观测噪声引起。由于 -0.03 距离零超过了 2σ，我们可以以超过 95% 的置信度拒绝零假设。这一分析依赖于被测试参数（与均值的距离）呈正态分布，以及我们对正态概率密度函数的理解（即 95% 的概率位于均值的 ±2σ 范围内）。

通常，从数据中计算得到的参数被称为统计量。在上述例子中，被测试的统计量是均值与零的差值，它呈正态分布。为了评估其他类型的零假设，我们需要研究一些概率密度函数不太常见的统计量。

2. 总误差的分布

总误差 E 是一个重要的统计量，它定义为各个误差的平方和，并根据其方差进行加权，即 (E = \sum_{i} e_{i}^{2})，其中 (e_{i} = \frac{d_{i}^{obs} - d_{i}^{pre}}{\sigma_{d_{i}}})。每个 (e_{i}) 都假设呈正态分布，均值为零，由于进行了 (\frac{1}{\sigma_{d_{i}}}) 的加权，方差为 1。因为误差 E 是从含噪声的数据中推导出来的，所以它是一个具有自身概率密度函数 (p(E)) 的随机变量，且该概率密度函数并非正态分布，因为 (e_{i}) 与 E 之间的关系是非线性的。