12、模拟退火算法中的最佳常数、访问策略及组合优化应用

模拟退火算法中的最佳常数、访问策略及组合优化应用

1. 最佳常数相关理论

在模拟退火算法的冷却计划中，我们起初不太关注最佳常数，主要有两个原因：一是希望理论尽可能简单；二是已有刻画最佳常数的相关结果。在阐述相关定理前，需引入一些新的概念和符号。

给定一个不可约且对称的提议矩阵 $G$，它会在集合 $X$ 上诱导出邻域系统，等同于图结构。若 $X$ 中两个元素 $x$ 和 $y$ 之间存在一条链 $x = x_0, \cdots, x_k = y$，且对于每个 $j = 1, \cdots, k$ 都有 $G(x_{j - 1}, x_j) > 0$，则称这两个元素有路径相连，即它们相互连通。若 $x = y$ 且 $H(x) < h$，或者存在一条路径，沿该路径能量从不超过 $h$（即 $H(x_i) < h$），则称它们在水平 $h$ 上连通。

一个恰当的局部极小值点 $x$ 在水平 $H(x)$ 上与任何能量更低的元素 $y$ 都不连通，也就是说，若 $H(y) < H(x)$，则连接 $x$ 和 $y$ 的每条路径都会经过一个元素 $z$，使得 $H(z) > H(x)$。若两个元素 $x$ 和 $y$ 由一条能量恒定的路径相连，则称它们等价，这在恰当局部极小值点集合上定义了一个等价关系，等价类被称为底部。

设 $X_{min}$ 表示 $H$ 的极小值点集合，$X_{loc}$ 表示恰当局部极小值点集合。恰当局部极小值点 $x$ 处于一个可能不规则边缘的“杯子”底部，其深度 $d_x$ 是最小的正数 $d$，使得 $x$ 在高度 $H(x) + d$ 处与一个 $y$ 连通，且 $H(y) < H(x)$（若 $x$