17、H∞性能分析、LMI公式推导及相关证明

H∞性能分析、LMI公式推导及相关证明

1. H∞性能分析

在控制系统中，H∞性能与跟踪误差密切相关。我们考虑由目标函数给出的与跟踪误差相关的H∞性能：
[J_{\infty} = \dot{V}(t) + z(t)^T z(t) - \gamma^2 w(t)^T w(t) < 0]
其中，(z(t) = e(t) = \overline{C} \overline{x}(t))，且(\overline{C} = [I -I])。

对于所有(e(0) \in \mathcal{E}(P, 1) \subset \mathcal{E}(P, \rho))，若(J_{\infty} < 0)，则对于所有(T > 0)有：
[\int_{0}^{T} J_{\infty} = \int_{0}^{T} (\dot{V}(t) + z(t)^T z(t) - \gamma^2 w(t)^T w(t)) dt < 0]
由此可得到以下两种情况：
- 当(\overline{w}(t) = 0)时：
[V(T) - V(0) < -z(t)^T z(t) \leq 0]
- 当(\overline{w}(t) \neq 0)时：
[V(T) \leq V(0) + \gamma^2 \int_{0}^{\infty} w(t)^T w(t) dt \leq 1 + \gamma^2 \rho^2]
这里，记(\rho = 1 + \gamma^2 \rho^2)，则(\mathcal{E}(P, \rho))为吸引域。

当(T \to \infty)时：
[\in