29、椭圆曲线与TLS协议：原理、应用与安全挑战

椭圆曲线与TLS协议：原理、应用与安全挑战

1. 椭圆曲线概述

1.1 Curve25519曲线

Curve25519是一种应用广泛的椭圆曲线，它基于素数$2^{255} - 19$进行运算，这是一个256位的素数，尽可能接近$2^{255}$。其b系数为486662，是满足Bernstein设定的安全标准的最小整数。这些特性使得Curve25519比NIST曲线更值得信赖，因为NIST曲线的系数存在可疑之处。

Curve25519在众多系统中得到应用，如Google Chrome、苹果系统、OpenSSH等。不过，由于它并非NIST标准，一些应用仍坚持使用NIST曲线。

1.2 其他曲线

目前，大多数加密应用使用NIST曲线或Curve25519，但也存在其他遗留标准，同时新的曲线也在标准化委员会中得到推广。

• 旧的国家标准曲线 ：如法国的ANSSI曲线和德国的Brainpool曲线，这两类曲线不支持完整的加法公式，且使用来源不明的常量。
• 新的曲线 ：一些新曲线比旧曲线更高效，且无安全隐患，能提供不同的安全级别和效率优化。例如，Curve41417是Curve25519的变体，处理更大的数字，提供约200位的更高安全级别；Ed448 - Goldilocks是2014年首次提出的448位曲线，被视为互联网标准；Aranha等人在论文中提出的六条曲线，但这些曲线很少被使用。

1.3 椭圆曲线的潜在问题

椭圆曲线由于其复杂性和较大的攻击面存在一些缺