3、自旋、Mpc与辛狄拉克算子及二维相空间中谐振子的变形研究

自旋、Mpc与辛狄拉克算子及二维相空间中谐振子的变形研究

1. Mpc结构与连接

在辛流形$(M, \omega)$的研究中，Mpc结构是一个重要的概念。一个Mpc结构是一个主$Mpc(V, \Omega, j)$丛$\mathcal{B} \stackrel{p_{\mathcal{B}}}{\longrightarrow} M$，并且存在一个保纤维的映射$\Phi : \mathcal{B} \to \mathcal{B}(M, \omega)$，满足$\Phi(\tilde{f} \cdot \tilde{A}) = \Phi(\tilde{f}) \cdot \sigma(\tilde{A})$，其中$\tilde{f} \in \mathcal{B}$，$\tilde{A} \in Mpc(V, \Omega, j)$。

任何辛流形$(M, \omega)$都允许有Mpc结构，并且这些Mpc结构的同构类可以由复线性丛的同构类来参数化。具体的参数化过程如下：
- 选择一个纤维方向上正的、与$\omega$兼容的复结构$J$在$TM$上。由于在给定的辛向量空间上，兼容复结构的空间是可缩的，所以这总是可行的。
- 定义$\mathcal{B}(M, \omega, J)$为复线性的辛标架的主$U(V, \Omega, j)$丛。
- 如果$(\mathcal{B}, \Phi)$是一个Mpc结构，令$\mathcal{B} J := \Phi^{-1}\mathcal{B}(M, \omega, J)$，它是一个主$MU_c(V, \Omega, j) \simeq \sigma \times \lambda U(V, \Omega, j) \times