35、量子物理中近似方法与原子在外场中的特性

量子物理中近似方法与原子在外场中的特性

在量子物理的研究中，近似方法和原子在外场中的特性是非常重要的内容。下面将详细介绍相关的概念和现象。

1. 定态近似方法的应用

在量子物理里，微扰理论的研究至关重要，它能帮助我们绕过一些复杂的方程，例如狄拉克方程。对于描述多电子原子，像微扰理论和变分技术这样的近似方法是必不可少的，因为三体问题无法精确求解，即使是看似简单的氦原子系统，也需要运用这些近似技术。

氢原子只有一个电子，研究时无需考虑全同粒子的概念。但氦原子则必须关注这个重要的量子力学概念，它会产生一种额外的“力”——交换力，通过交换积分 $K$ 体现。交换积分对单重态和三重态的库仑能有不同影响，单重态的库仑能会升高 $K$，三重态则降低 $K$。三重态能量降低是因为其概率分布呈现费米空穴，使电子相互远离，从而降低了电子间的排斥能；而单重态的概率密度类似费米堆，电子相互靠近，排斥能较高。

下面是一些相关的问题：
1. 证明比值 $\left|\left\langle \hat{H} {SO} \right\rangle / \left\langle \hat{H}_0 \right\rangle\right| \sim \alpha^2$，先使用国际单位制，再使用原子单位制。
2. 证明氢原子自旋 - 轨道哈密顿量（方程 13.21）的期望值为：
- $\left\langle \hat{H} {SO} \right\rangle = \frac{1}{2m_e^2c^2\hbar^2} \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right) \left\langle \frac{1}{r^3