11、一维量子态：时变与稳态的深入探究

一维量子态：时变与稳态的深入探究

1. 一维时变状态

在一维量子系统中，时变状态的研究是理解量子物理的关键部分。初始波包的形式对于后续的分析至关重要。例如，给定初始波包：
[
\Psi(\xi, 0) = \frac{\sqrt{\alpha}}{\pi^{1/4}} e^{-\xi_0^2/4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\xi_0/2)^n}{n!} e^{-\xi^2/2} H_n(\xi) = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{\xi_0^n e^{-\xi_0^2/4}}{\sqrt{2^n n!}} \right] \left[ \sqrt{\frac{\alpha}{2^n n!}} \frac{1}{\pi^{1/4}} e^{-\xi^2/2} H_n(\xi) \right]
]
这里，方括号内的表达式代表归一化的简谐振子本征函数。由此可以分离出展开系数 ( a_n )，即：
[
a_n = \frac{\xi_0^n e^{-\xi_0^2/4}}{\sqrt{2^n n!}} = \frac{\alpha^n x_0^n e^{-\alpha^2 x_0^2/4}}{\sqrt{2^n n!}}
]

当 ( x_0 \to 0 ) 时，从初始波包的形式可以看出，它趋近于简谐振子的基态，这是一个定态。此时，我们预期 ( a_0 = 1 )，而其他展开系数都为零。不过，当 ( n = 0 ) 且 ( x_0 \to 0 ) 时，由于零的零次幂是不确定的，所以该极限是不确定的。但对于 ( n \geq 1 )，有：
[
\lim_{x