30、承诺问题在复杂度类定义与应用中的探索

承诺问题在复杂度类定义与应用中的探索

1. 随机映射与复杂度类关系

在复杂度理论中，随机映射在某些情况下能建立起不同问题之间的联系。例如，存在随机映射 $M$，满足：
$Pr[M(x) \notin \Pi_{yes}] = Pr_{s_1,\cdots,s_m}[\exists r \in {0, 1}^m \text{ s.t. } (\forall i) R(x, r \oplus s_i) = 0]$
$\leq \sum_{r\in{0,1}^m} Pr_{s_1,\cdots,s_m}[(\forall i) R(x, r \oplus s_i) = 0]$
$\leq 2^m \cdot (\frac{1}{2^m})^m \ll \frac{1}{2}$

这表明随机映射 $M$ 将 $\chi$ 规约到 $\Pi$，且在肯定实例上存在单边误差。结合 $\Pi \in coRP$，能得出相关定理。同时，传统的呈现方式利用上述规约证明了 $BPP$ 包含于多项式时间层级（$PH$）。定义多项式时间可计算谓词 $\phi(x, s, r) \stackrel{def}{=} \bigwedge_{i=1}^{m}(R(x, s_i \oplus r) = 1)$，有：
- $\chi(x) = 1 \Rightarrow \exists s \forall r \phi(x, s, r)$
- $\chi(x) = 0 \Rightarrow \forall s \exists r \neg\phi(x, s, r)$

2. 利用承诺问题定义修改后的复杂度类

Vadhan 提出了一种用承诺问题定义