18、黑盒模型下的量子计算复杂度与下界分析

黑盒模型下的量子计算复杂度与下界分析

1. 复杂度类关系概述

目前已知的一些重要复杂度类之间存在着特定的关系，例如 (P \subseteq BPP \subseteq BQP \subseteq PSPACE)，以及 (P \subseteq NP \subseteq PSPACE)。不过，截至目前，还没有证据能证明这些包含关系是严格的，比如尚未证明 (P \neq PSPACE)。但在学术界，普遍认为 (P \neq NP) 且 (NP \neq PSPACE)，同时也预计 (BPP \neq BQP)。解决 (P = NP) 这个问题被视为数学领域中最重大的开放性问题之一，它也是克莱数学研究所百万美元悬赏的“千禧年问题”之一。

量子算法领域最大的挑战在于找到那些属于 (BQP) 但不属于 (BPP) 的问题，也就是要找到那些能在量子计算机上高效求解，而在经典计算机上难以解决的问题。对这些复杂度类及其关系的研究，有助于我们理解这些问题的难度。

2. 黑盒模型介绍

在黑盒模型中，问题的输入由一个黑盒（或称为“预言机”）(O_X) 提供，用于获取关于未知字符串 (X = X_1, \cdots, X_N) 的信息，这里假设 (N) 个变量 (X_i) 都是二进制的。预言机允许我们对各个变量的二进制值进行查询。通常，量子黑盒实现的操作如下：
[O_X : |j\rangle|b\rangle \to |j\rangle|b \oplus X_j\rangle]

其目标一般是计算字符串 (X) 的某个函数 (F(X))。在黑盒模型中进行的计算，是指在能够访问针对 (X) 的黑盒 (O_X) 的情况下，计算函数 (F : {0, 1