28、从量子查询复杂度到状态复杂度的探索

从量子查询复杂度到状态复杂度的探索

在量子计算领域，理解量子资源和操作的能力是一个关键的研究方向。其中，量子有限自动机的状态复杂度是研究其能力的一个有趣话题。本文将探讨如何从量子查询复杂度推导出状态简洁性结果，为研究量子有限自动机的能力提供新的视角。

1. 引言

深入了解各种量子资源和操作的能力的一个重要途径是探索经典自动机基本模型的各种量子变体。特别有趣的是研究那些使用非常有限的量子资源（如状态、相关性、操作和测量）的模型。

对于（量子）有限自动机，使用的（基）状态数量是一种自然的复杂度度量。（量子）有限自动机的大小定义为自动机将操作的（希尔伯特）空间的（基）状态数量。对于混合（即量子/经典）有限自动机，自然会同时考虑两种复杂度度量：经典状态的数量和量子（基）状态的数量。

量子有限自动机由Kondacs和Watrous以及Moore和Crutchfields引入，自那时起得到了深入探索。状态复杂度和简洁性结果是经典有限自动机理论的一个重要研究领域，有多种应用。在引入和探索经典有限自动机的量子版本后，通过简洁性结果找出经典和量子有限自动机模型之间的关系变得非常有趣。

过去二十年来，几种量子有限自动机变体的状态复杂度得到了广泛研究。虽然已经为一些特殊语言、承诺问题和自动机模型证明了状态简洁性结果，但证明这些结果的方法多种多样且往往是临时的。因此，尝试找出是否有通用方法来获得量子有限自动机的状态简洁性结果是很自然的。答案是肯定的，本文将展示如何从查询复杂度结果很好地推导出状态简洁性结果。

• 基本思路 ：状态复杂度与通信复杂度密切相关。Buhrman等人证明了各种通信复杂度结果