29、承诺问题：复杂性研究中的多面角色

承诺问题：复杂性研究中的多面角色

1. 承诺问题作为复杂性指标：利弊分析

人们通常倾向于使用传统概念，避免承诺问题，而用语言识别问题来表述断言。但在某些情况下，由于内在原因，这一愿望无法实现；还有些情况是在证明语言识别问题的类似结果失败后转向承诺问题，且似乎没有内在理由解释这种失败。那么，使用承诺问题而非语言识别问题是否会让我们失去重要的东西呢？下面我们先探讨其不利之处。

1.1 弊端：一些结构后果的失效

关于承诺问题的结果有时与语言识别问题的类似结果在结构后果上不同。最著名的例子是，在NP ∩ coNP中存在NP难（在Cook归约下）的承诺问题似乎没有任何结构后果，而语言识别问题的类似结果则意味着NP = coNP。

例如，有一个NP完全问题xSAT，其肯定实例是对(φ1, φ2)，其中φ1 ∈ SAT且φ2 ∉ SAT；否定实例是对(φ1, φ2)，其中φ1 ∉ SAT且φ2 ∈ SAT。

定理6表明，NP可Cook归约到xSAT，而xSAT属于NP ∩ coNP。证明过程如下：
- 为证明xSAT属于NP，考虑见证关系R1 = {((φ1, φ2), τ) : (φ1, τ) ∈ RSAT}；为证明xSAT属于coNP，考虑见证关系R2 = {((φ1, φ2), τ) : (φ2, τ) ∈ RSAT}。
- 从SAT到xSAT的Cook归约可由以下神谕机实现：输入公式φ，尝试找到φ的满足赋值，成功则接受。具体步骤如下：
1. 令φλ = φ，τ = λ（潜在满足赋值的空前缀），只要φτ有自由变量就继续。
2. 设φτσ是将φτ的第|τ| + 1个变量设为σ得到的公式。
3. 对