26、不相交NP对及其与命题证明系统的关系综述

不相交NP对及其与命题证明系统的关系综述

1. 引言

不相交NP对是指一对非空且不相交的集合 (A, B)，其中A和B都属于复杂度类NP，我们用DisjNP表示所有不相交NP对的集合。对于不相交NP对 (A, B)，其分隔器是一个集合S，满足A ⊆ S且B ⊆ S。一个基本问题是，(A, B) 是否存在属于P的分隔器，若存在则称该对是P可分的，否则是P不可分的。

从另一个角度看，我们想知道是否存在一个高效算法，其肯定实例集合包含A，否定实例集合包含B，而该算法在A∪B的补集上的行为是任意的。也就是说，不相交NP对是一种承诺问题。早在1982年，研究人员在研究破解公钥密码系统问题时，将其表述为承诺问题，并发现安全的公钥密码系统存在的前提是存在P不可分对。

此外，不相交NP对与命题演算的证明系统理论有着自然的联系，这也是本文要探讨的内容。

2. 预备知识

• 多项式时间归约 ：
  • ≤p
    m 表示多项式时间有界的多一归约。若存在多项式时间可计算的函数f，使得对于所有实例x，有x ∈ A ⇔ f(x) ∈ B，则记为A ≤p
    m B。
  • ≤p
    T 表示多项式时间有界的图灵归约。若存在以B为神谕的图灵机M，使得A = L(M, B)（即M以B为神谕接受的语言），则记为A ≤p
    T B。
• 多项式时间可计算函数类PF ：函数f是诚实的，如果存在多项式q，使得对于f值域中的每个y，都存在f定义域中的x，满足f(x) = y且|x| ≤