23、RSA加密算法：原理、应用与安全分析

RSA加密算法：原理、应用与安全分析

1. RSA背后的数学原理

RSA在加密消息时，将消息视为一个大数字，加密过程本质上是大数字的乘法运算。为了理解RSA的工作原理，我们需要了解它所处理的大数字类型以及这些数字的乘法规则。

RSA将待加密的明文视为1到n - 1之间的正整数，其中n是一个大数字，称为模数。这些数字相乘后得到的结果仍满足相同的条件，我们称这些数字构成一个群，记为$Z_n^*$，并称之为模n的整数乘法群。

例如，考虑模4的整数乘法群$Z_4^ $。根据群的定义，群中必须包含单位元（即1），且每个元素x都必须有一个逆元y，使得$x × y = 1$。由此可知，0不在$Z_4^ $中，因为任何数乘以0都不可能得到1；1属于$Z_4^ $，因为$1 × 1 = 1$，即1是其自身的逆元；2不属于$Z_4^ $，因为2与4不互质（4和2有公因数2），无法通过2与$Z_4^ $中的其他元素相乘得到1；3属于$Z_4^ $，因为$3 × 3 \mod 4 = 1$，即3是其自身的逆元。因此，$Z_4^* = {1, 3}$。

再看模5的整数乘法群$Z_5^ $。由于5是质数，1、2、3、4都与5互质，所以$Z_5^ = {1, 2, 3, 4}$。验证如下：$2 × 3 \mod 5 = 1$，所以2是3的逆元，3是2的逆元；$4 × 4 \mod 5 = 1$，所以4是其自身的逆元；1同样是其自身的逆元。

当n不是质数时，我们使用欧拉函数$φ(n)$来计算$Z_n^ $中的元素个数。该函数给出与n互质的元素个数，也就是$Z_n^