时机成熟之时 - 概率与期望 - 组合计数

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概率与期望

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博客围绕min - max期望形式展开，给出题目：有n个球，每次等概率选一个涂黑，T次后全涂黑，求∑i = 1Tik的期望。介绍了一种推导方法，通过一系列公式推导得出结果，可在O(nk^2)时间解决，还提及有平方时间复杂度做法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

~~我终于知道min-max的期望形式为啥是对的了~~
题目大意：有n个球，每次等概率的选一个球涂黑。假设T次后所有球都被涂黑了，求 $∑i=1Tik\sum_{i=1}^T i^k$ 的期望。 $n,k≤100n,k\le100$
题解：这题有很多种推法，自己yy了这么一个：
$answer=∑i≥1P(i)∑k=1ijk=∑j≥1jk∑i≥jP(i)=∑j≥1jk(1−∑i=1j−1P(i))\text{answer}=\sum_{i\ge1}P(i)\sum_{k=1}^ij^k\\ =\sum_{j\ge1}j^k\sum_{i\ge j}P(i)=\sum_{j\ge1}j^k\left(1-\sum_{i=1}^{j-1}P(i)\right)$
考虑后面那坨 $G(t)=∑i=1tP(t)G(t)=\sum_{i=1}^tP(t)$ 表示不超过 $t$ 次结束的概率，这显然就是
$G(t)=S(t,n)t!nt=∑i=0n(ni)(−1)i(n−i)tntG(t)=\frac{S(t,n)t!}{n^t}=\frac{\sum_{i=0}^n\binom ni(-1)^i(n-i)^t}{n^t}$
代回去可得：
$answer=∑j≥1jknj−1−∑i=0n(ni)(−1)i(n−i)j−1nj−1=∑j≥1jknj−1−∑i=1n(ni)(−1)i(n−i)j−1−nj−1nj−1=∑j≥1jk∑i=1n(ni)(−1)i+1(n−i)j−1nj−1=∑i=1n(ni)(−1)i+1∑j≥1(n−i)j−1nj−1jk=(−1)n+1+∑i=1n−1(ni)(−1)i+1nn−iFk(n−in)\text{answer}=\sum_{j\ge1}j^k\frac{n^{j-1}-\sum_{i=0}^n\binom ni(-1)^i(n-i)^{j-1}}{n^{j-1}}\\ =\sum_{j\ge1}j^k\frac{n^{j-1}-\sum_{i=1}^n\binom ni(-1)^i(n-i)^{j-1}-n^{j-1}}{n^{j-1}}\\ =\sum_{j\ge1}j^k\frac{\sum_{i=1}^n\binom ni(-1)^{i+1}(n-i)^{j-1}}{n^{j-1}}\\ =\sum_{i=1}^n\binom ni(-1)^{i+1}\sum_{j\ge1}\frac{(n-i)^{j-1}}{n^{j-1}}j^k\\ =(-1)^{n+1}+\sum_{i=1}^{n-1}\binom ni(-1)^{i+1}\frac{n}{n-i}F_k\left(\frac{n-i}{n}\right)$
其中：
$Fk(q)=∑i≥1qiikFk(q)q−1=∑i≥1qi(i+1)kFk(q)q−1=∑i≥1qi∑j=0k(kj)ijFk(q)q−1=∑j=0k(kj)Fj(q)=Fk(q)+∑j=0k−1(kj)Fj(q)Fk(q)=q1−q(1+∑j=0k−1(kj)Fj(q))F0(q)=q1−qF_k(q)=\sum_{i\ge1}q^ii^k\\ \frac{F_k(q)}{q}-1=\sum_{i\ge1}q^i(i+1)^k\\ \frac{F_k(q)}{q}-1=\sum_{i\ge1}q^i\sum_{j=0}^k\binom kji^j\\ \frac{F_k(q)}{q}-1=\sum_{j=0}^k\binom kj F_j(q)=F_k(q)+\sum_{j=0}^{k-1}\binom kj F_j(q)\\ F_k(q)=\frac{q}{1-q}\left(1+\sum_{j=0}^{k-1}\binom kjF_j(q)\right)\\ F_0(q)=\frac{q}{1-q}$
这样就可以在O(nk^2)的时间解决本题
还有一些平方时间复杂度做法QwQ

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define Rep(i,v) rep(i,0,(int)v.size()-1)
#define lint long long
#define p 998244353
#define ull unsigned lint
#define db long double
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
#define gc getchar()
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x
#define sp <<" "
#define ln <<endl
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
typedef set<int>::iterator sit;
inline int inn()
{
	int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
	x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
const int N=110;
int C[N][N],f[N];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%p) (k&1)?ans=(lint)ans*x%p:0;return ans; }
inline int inv(int x) { return fast_pow(x<0?x+p:x,p-2); }
inline int sol(int x,int s) { return (s&1)?(x?p-x:0):x; }
inline int prelude(int n)
{
	rep(i,0,n) C[i][0]=1;
	rep(i,1,n) rep(j,1,i) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1],(C[i][j]>=p?C[i][j]-=p:0);
	return 0;
}
inline int F_k(int q,int k)
{
	int v=(lint)q*inv(1-q)%p;f[0]=v;
	rep(i,1,k)
	{
		f[i]=1;
		rep(j,0,i-1) f[i]=(f[i]+(lint)C[i][j]*f[j])%p;
		f[i]=(lint)v*f[i]%p;
	}
	return f[k];
}
int main()
{
	int n=inn(),k=inn(),q,ans=0;prelude(max(n,k));
	rep(i,1,n-1)
		q=(lint)inv(n)*(n-i)%p,
		ans+=sol((lint)C[n][i]*inv(q)%p*F_k(q,k)%p,i+1),
		(ans>=p?ans-=p:0);
	ans+=sol(1,n+1),(ans>=p?ans-=p:0);
	return !printf("%d\n",ans);
}