第一课:行列式的计算
行列式分为2阶、3阶、4阶……n
阶(行列式中行列数相等)等,通过对行列式进行相关的变换我们可以得到一个数字。
求行列式的性质:
性质1:某行(列)加上或减去领一行(列)的几倍,行列式不变
性质2:某行(列)乘
k
,等于k乘此行列式性质3:互换两行(列),行列式变号
行:r、列:c
其中**2阶的计算方法为:
∣ 1 2 2 3 ∣ \left|\begin{matrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{matrix}\right|
1223
计算方法为对角线相乘求差**,即
1 ∗ 3 − 2 ∗ 2 = − 1 1∗3−2∗2=-1 1∗3−2∗2=−1
对于**多阶(n>=3)**,责需要经过对行列式进行变换后再进行计算,例如:
∣ 1 2 3 2 3 4 4 5 7 ∣ \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3\\ 2 & 3& 4\\ 4 & 5& 7\\ \end{matrix}\right|
124235347
具体的计算过程如下:
性质1:某行(列)加上或减去领一行(列)的几倍,行列式不变
求三阶行列式的小技巧:
第一行不动
第一行的作用就是使得后面行的首位变为0
第二行的作用就是使得后面行的第二位变为0
…
第n-1行的作用就是使得后面行的第n-1位变为0
扩展一个4阶的行列式算一下(利用求n阶行列式的小技巧)
性质2:某行(列)乘k
,等于k乘此行列式
已知 ∣ 1 2 3 4 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = − 1 ,求 ∣ 2 4 6 8 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ 已知 \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=-1,求 \left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| 已知
124823593471045812
=−1,求
224843596471085812
观察发现,第一行{2,4,6,8}是{1,2,3,4}的2倍,即
∣ 2 4 6 8 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = 2 ∗ ∣ 1 2 3 4 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = 2 ∗ ( − 1 ) = − 2 \left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =2* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=2*(-1)=-2
224843596471085812
=2∗
124823593471045812
=2∗(−1)=−2
∣ 2 4 6 8 2 3 4 5 12 15 21 24 8 9 10 12 ∣ = 2 ∗ 3 ∗ ∣ 1 2 3 4 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = 2 ∗ 3 ∗ ( − 1 ) = − 6 \left|\begin{matrix} 2 & 4& 6& 8\\ 2 & 3& 4& 5\\ 12 & 15& 21& 24\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =2*3* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=2*3*(-1)=-6 2212843159642110852412 =2∗3∗ 124823593471045812 =2∗3∗(−1)=−6
性质3:互换两行(列),行列式变号
例一: ∣ 2 3 4 5 1 2 3 4 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = ( R 1 < − > R 2 ) = − 1 ∗ ∣ 1 2 3 4 2 3 4 5 4 5 7 8 8 9 10 12 ∣ = − 1 ∗ ( − 1 ) = 1 例一: \left|\begin{matrix} 2 & 3& 4& 5\\ 1 & 2& 3& 4\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right|=(R1<->R2)= -1* \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 2 & 3& 4& 5\\ 4 & 5& 7& 8\\ 8 & 9& 10& 12 \end{matrix}\right| =-1*(-1)=1 例一:
214832594371054812
=(R1<−>R2)=−1∗
124823593471045812
=−1∗(−1)=1
例二: ∣ 0 0 0 3 0 0 3 2 1 2 3 4 0 5 2 4 ∣ = ( R 1 < − > R 4 ) = − 1 ∗ ∣ 0 5 2 4 0 0 3 2 1 2 3 4 0 0 0 3 ∣ = ( R 2 < − > R 3 ) = − 1 ∗ ( − 1 ) ∣ 0 5 2 4 1 2 3 4 0 0 3 2 0 0 0 3 ∣ = ( R 1 < − > R 2 ) = − 1 ∗ ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) ∣ 1 2 3 4 0 5 2 4 0 0 3 2 0 0 0 3 ∣ = − 1 ∗ ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) ∗ 1 ∗ 5 ∗ 3 ∗ 3 = − 45 例二: \left|\begin{matrix} 0 & 0& 0& 3\\ 0 & 0& 3& 2\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 5& 2& 4 \end{matrix}\right| =(R1<->R4)= -1* \left|\begin{matrix} 0 & 5& 2& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =(R2<->R3)= -1*(-1) \left|\begin{matrix} 0 & 5& 2& 4\\ 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =(R1<->R2)= -1*(-1)*(-1) \left|\begin{matrix} 1 & 2& 3& 4\\ 0 & 5& 2& 4\\ 0 & 0& 3& 2\\ 0 & 0& 0& 3 \end{matrix}\right| =−1∗(−1)∗(−1)∗1∗5∗3∗3=−45 例二: 0010002503323244 =(R1<−>R4)=−1∗ 0010502023304243 =(R2<−>R3)=−1∗(−1) 0100520023304423 =(R1<−>R2)=−1∗(−1)∗(−1) 1000250032304423 =−1∗(−1)∗(−1)∗1∗5∗3∗3=−45
第二课:行列式的计算与应用
1/7 对称的N行N列计算
∣ x a . . . a a x . . . a : : . . . : a a . . . x ∣ = ( x − a ) ( n − 1 ) [ x + ( n − 1 ) a ] \left|\begin{matrix} x & a& ...& a\\ a & x& ...& a\\ : & :& ...& :\\ a & a& ...& x\\ \end{matrix}\right| =(x-a)^{(n-1)}[x+(n-1)a] xa:aax:a............aa:x =(x−a)(n−1)[x+(n−1)a]
例1:请计算如下行列式的值
∣ 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 ∣ \left|\begin{matrix} 2 & 3& 3& 3\\ 3 & 2& 3& 3\\ 3 & 3& 2& 3\\ 3 & 3& 3& 2\\ \end{matrix}\right|
2333323333233332
即x=2 a=3 n=4,代入以上公式可得
=(2−3)(4−1)[2+(4−1)*3]=-11
公式的由来:
就是把后面几行的数对应加到第一行上,可以把和提公因子x+(n−1)a,第一行就全为1,利用第一行消去下面几行的数,最后结果就是公因子乘以(x−a)(n−1)
2/7 指数递增行列式求解
范德蒙行列式:依次欺负低年级
∣ 1 1 . . . 1 X 1 X 2 . . . X n ( X 1 ) 2 ( X 2 ) 2 . . . ( X n ) 2 : : . . . : ( X 1 ) ( n − 1 ) ( X 2 ) ( n − 1 ) . . . ( X n ) ( n − 1 ) ∣ \left|\begin{matrix} 1 & 1& ...& 1\\ X1 & X2& ...& Xn\\ (X1)^2 & (X2)^2& ...& (Xn)^2\\ : & :& ...& :\\ (X1)^(n-1) & (X2)^(n-1)& ...& (Xn)^(n-1)\\ \end{matrix}\right| 1X1(X1)2:(X1)(n−1)1X2(X2)2:(X2)(n−1)...............1Xn(Xn)2:(Xn)(n−1)
=(xn−xn−1)(xn−xn−2)(xn−xn−3)⋯⋯(xn−x1)∗
(xn−1−xn−2)(xn−1−xn−3)⋯⋯(xn−1−x1)∗
⋯⋯∗(x2−x1)
=
∏ 1 《 j < i 《 n ( x i − x j ) \prod_{1《j < i《n}(xi-xj) 1《j<i《n∏(xi−xj)
例2:请计算如下行列式的值
∣ 1 1 1 1 3 4 5 6 3 2 4 2 5 2 6 2 3 3 4 3 5 3 6 3 ∣ \left|\begin{matrix} 1 & 1& 1& 1\\ 3 & 4& 5& 6\\ 3^2 & 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3 & 4^3& 5^3& 6^3\\ \end{matrix}\right|
1332331