线代--猴博士爱讲课

第一课：行列式的计算

​ 行列式分为2阶、3阶、4阶……n阶(行列式中行列数相等)等，通过对行列式进行相关的变换我们可以得到一个数字。

求行列式的性质：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式

性质3：互换两行（列），行列式变号

行：r、列：c

​ 其中**2阶的计算方法为：
$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|$$
​ 计算方法为对角线相乘求差**，即
$$1\ast 3-2\ast 2=-1$$
​

​ 对于**多阶(n>=3)**，责需要经过对行列式进行变换后再进行计算，例如：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{array}\right|$$

具体的计算过程如下：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

求三阶行列式的小技巧：

第一行不动

第一行的作用就是使得后面行的首位变为0

第二行的作用就是使得后面行的第二位变为0

…

第n-1行的作用就是使得后面行的第n-1位变为0

扩展一个4阶的行列式算一下(利用求n阶行列式的小技巧)

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式
$$已知\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=-1，求\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|$$

​ 观察发现，第一行{2,4,6,8}是{1,2,3,4}的2倍，即
$$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast (-1)=-2$$

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 12& 15& 21& 24\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast 3\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast 3\ast (-1)=-6$$

​ 性质3：互换两行（列），行列式变号
$$例一：\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 4\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=（R1<->R2）=-1\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=-1\ast （-1）=1$$

$$例二：\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 3& 2\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 2& 4\end{array}\right|=（R1<->R4）=-1\ast \left|\begin{array}{cccc}0& 5& 2& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=（R2<->R3）=-1\ast （-1）\left|\begin{array}{cccc}0& 5& 2& 4\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=（R1<->R2）=-1\ast （-1）\ast （-1）\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 2& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=-1\ast (-1)\ast (-1)\ast 1\ast 5\ast 3\ast 3=-45$$

第二课：行列式的计算与应用

1/7 对称的N行N列计算

$$\left|\begin{array}{cccc}x& a& ...& a\\ a& x& ...& a\\ ：& ：& ...& ：\\ a& a& ...& x\end{array}\right|=（x-a{）}^{（n-1）}[x+(n-1)a]$$

​

​ 例1：请计算如下行列式的值
$$\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{array}\right|$$
​ 即x=2 a=3 n=4,代入以上公式可得

​ =(2−3)⁽⁴⁻¹⁾[2+(4−1)*3]=-11

公式的由来：

就是把后面几行的数对应加到第一行上,可以把和提公因子x+(n−1)a，第一行就全为1,利用第一行消去下面几行的数,最后结果就是公因子乘以(x−a)⁽ⁿ⁻¹⁾

2/7 指数递增行列式求解

范德蒙行列式:依次欺负低年级

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ X1& X2& ...& Xn\\ (X1{)}^2& (X2{)}^2& ...& (Xn{)}^2\\ ：& ：& ...& ：\\ (X1{)}^{(}n-1）& (X2{)}^{(}n-1）& ...& (Xn{)}^{(}n-1）\end{array}\right|$$

=(x_n−x_n−1)(x_n−x_n−2)(x_n−x_n−3)⋯⋯(x_n−x₁)∗

(x_n−1−x_n−2)(x_n−1−x_n−3)⋯⋯(x_n−1−x₁)∗

⋯⋯∗(x₂−x₁)

=
$$\prod _{1《j<i《n}(xi-xj)$$
​ 例2：请计算如下行列式的值
$$|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& \\ 3^2& \\ 3^3& \end{array}$$