线代【行列式】--猴博士爱讲课

第一课：行列式的计算

​ 行列式分为2阶、3阶、4阶……n阶(行列式中行列数相等)等，通过对行列式进行相关的变换我们可以得到一个数字。

求行列式的性质：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式

性质3：互换两行（列），行列式变号

行：r、列：c

​ 其中**2阶的计算方法为：
$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|$$
​ 计算方法为对角线相乘求差**，即
$$1\ast 3-2\ast 2=-1$$
​

​ 对于**多阶(n>=3)**，责需要经过对行列式进行变换后再进行计算，例如：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 4& 5& 7\end{array}\right|$$

具体的计算过程如下：

性质1：某行（列）加上或减去领一行（列）的几倍，行列式不变

求三阶行列式的小技巧：

第一行不动

第一行的作用就是使得后面行的首位变为0

第二行的作用就是使得后面行的第二位变为0

…

第n-1行的作用就是使得后面行的第n-1位变为0

扩展一个4阶的行列式算一下(利用求n阶行列式的小技巧)

性质2：某行（列）乘k，等于k乘此行列式
$$已知\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=-1，求\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|$$

​ 观察发现，第一行{2,4,6,8}是{1,2,3,4}的2倍，即
$$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast (-1)=-2$$

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 2& 3& 4& 5\\ 12& 15& 21& 24\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast 3\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=2\ast 3\ast (-1)=-6$$

​ 性质3：互换两行（列），行列式变号
$$例一：\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 4& 5\\ 1& 2& 3& 4\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=（R1<->R2）=-1\ast \left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 4& 5& 7& 8\\ 8& 9& 10& 12\end{array}\right|=-1\ast （-1）=1$$

$$例二：\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 3& 2\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 2& 4\end{array}\right|=（R1<->R4）=-1\ast \left|\begin{array}{cccc}0& 5& 2& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=（R2<->R3）=-1\ast （-1）\left|\begin{array}{cccc}0& 5& 2& 4\\ 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=（R1<->R2）=-1\ast （-1）\ast （-1）\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 5& 2& 4\\ 0& 0& 3& 2\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right|=-1\ast (-1)\ast (-1)\ast 1\ast 5\ast 3\ast 3=-45$$

第二课：行列式的计算与应用

1/7 对称的N行N列计算

$$\left|\begin{array}{cccc}x& a& ...& a\\ a& x& ...& a\\ ：& ：& ...& ：\\ a& a& ...& x\end{array}\right|=（x-a{）}^{(n-1)}[x+(n-1)a]$$

​ 例1：请计算如下行列式的值
$$\left|\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 3\\ 3& 2& 3& 3\\ 3& 3& 2& 3\\ 3& 3& 3& 2\end{array}\right|$$
​ 即x=2 a=3 n=4,代入以上公式可得

​ =(2−3)⁽⁴⁻¹⁾[2+(4−1)*3]=-11

公式的由来：

就是把后面几行的数对应加到第一行上,可以把和提公因子x+(n−1)a，第一行就全为1,利用第一行消去下面几行的数,最后结果就是公因子乘以(x−a)⁽ⁿ⁻¹⁾

2/7 指数递增行列式求解

范德蒙行列式:依次欺负低年级

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ X_1& X_2& ...& X_n\\ (X_1{)}^2& (X_2{)}^2& ...& (X_n{)}^2\\ ：& ：& ...& ：\\ (X_1{)}^{(}n-1）& (X_2{)}^{(}n-1）& ...& (X_n{)}^{(}n-1）\end{array}\right|$$

=(x_n−x_n−1)(x_n−x_n−2)(x_n−x_n−3)⋯⋯(x_n−x₁)∗

(x_n−1−x_n−2)(x_n−1−x_n−3)⋯⋯(x_n−1−x₁)∗

⋯⋯∗(x₂−x₁)

=
$$\prod _{1《j<i《n}(x_i-x_j)$$
​ 例2：请计算如下行列式的值
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 3& 4& 5& 6\\ 3^2& 4^2& 5^2& 6^2\\ 3^3& 4^3& 5^3& 6^3\end{array}\right|$$
​ 即x1=3 x2=4 x3=5 x4=6 n=4，代入以上公式可得

​ =(x₄−x₃)(x₄−x₂)(x₄−x₁)∗(x₃−x₂)(x₃−x₁)∗(x₂−x₁)=12

3/7 特殊行列式计算

①两行（列）相同或者成比例时，行列式为0

②某行（列）为两项相加相减时，行列式可拆解成两个行列式相加减

【转置相等,互换变号,成比例为零】

例3：请计算如下行列式的值

$$已知\left|\begin{array}{ccc}a1& b1& c1\\ a2& b2& c2\\ a3& b3& c3\end{array}\right|=1,试求\left|\begin{array}{ccc}a1+c1& b1& a1+b1\\ a2+c2& b2& a2+b2\\ a3+c3& b3& a3+b3\end{array}\right|$$

$$\left|\begin{array}{ccc}a1+c1& b1& a1+b1\\ a2+c2& b2& a2+b2\\ a3+c3& b3& a3+b3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a1& b1& a1+b1\\ a2& b2& a2+b2\\ a3& b3& a3+b3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c1& b1& a1+b1\\ c2& b2& a2+b2\\ c3& b3& a3+b3\end{array}\right|$$

$$=\left|\begin{array}{ccc}a1& b1& a1\\ a2& b2& a2\\ a3& b3& a3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a1& b1& b1\\ a2& b2& b2\\ a3& b3& b3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c1& b1& a1\\ c2& b2& a2\\ c3& b3& a3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c1& b1& b1\\ c2& b2& b2\\ c3& b3& b3\end{array}\right|$$

$$=0+0+\left|\begin{array}{ccc}c1& b1& a1\\ c2& b2& a2\\ c3& b3& a3\end{array}\right|+0=-1\ast \left|\begin{array}{ccc}a1& b1& c1\\ a2& b2& c2\\ a3& b3& c3\end{array}\right|=-1\ast 1=-1$$

4/7 求余子式、代数余子式

四阶行列式同理：最后算的是剔除了一行一列之后的三阶行列式

$$试求\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{array}\right|中a_{23}的余子式，a_{12}的代数余子式$$

​ ①余子式M：

​
$$M_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 9& 10\end{array}\right|=-8$$
​ ②代数余子式A：
$$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\ast M_{12}=-1\ast \left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 9& 11\end{array}\right|=8$$

5/7 任意行/列计算行列式

行列式展开定理：

①D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+⋯⋯+a_inA_in(第i行)

等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和

D=a_1jA_1j+a_2jA_2j+⋯⋯+a_njA_nj(第j列)

等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和

$$法一：\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{array}\right|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13}【按第一行展开】$$

$$=a_{11}\ast (-1{)}^{1+1}\ast M_{11}+a_{12}\ast (-1{)}^{1+2}\ast M_{12}+a_{13}\ast (-1{)}^{1+3}\ast M_{13}$$

$$=a_{11}\ast (-1{)}^{1+1}\ast \left|\begin{array}{cc}5& 7\\ 9& 11\end{array}\right|+a_{12}\ast (-1{)}^{1+2}\ast \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 9& 11\end{array}\right|+a_{13}\ast (-1{)}^{1+3}\ast \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 10\end{array}\right|$$

$$=1$$

$$法二：\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 5& 6& 7\\ 9& 10& 11\end{array}\right|=a_{12}{A}_{12}+a_{22}{A}_{22}+a_{32}{A}_{32}【按第二列展开】$$

6/7 多个A或M相加减

$$已知D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right|,试求①3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}$$

$$②3A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41}③3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}$$

对于A，直接找到对应的位置，将系数与对应的项进行替换即可：

$$①3A_{11}+4A_{12}+5A_{13}+6A_{14}=\left|\begin{array}{cccc}3& 4& 5& 6\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right|$$

$$②3A_{11}+4A_{21}+5A_{31}+6A_{41}=\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 3& 4\\ 4& 6& 7& 8\\ 5& 10& 11& 12\\ 6& 14& 15& 16\end{array}\right|$$

对于M，则先通过M与A的对应关系，即
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

$$③3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}$$

$$\begin{gathered} A_{11}=(-1{)}^{1+1}{M}_{11}=M_{11} \\ {A}_{21}=(-1{)}^{2+1}{M}_{21}=-M_{21} \\ {A}_{31}=(-1{)}^{3+1}{M}_{31}=M_{31} \\ {A}_{41}=(-1{)}^{4+1}{M}_{41}=-M_{41} \\ \therefore 原式=3M_{11}+4M_{21}+5M_{31}+6M_{41}=3A_{11}-4A_{21}+5A_{31}-6A_{41}=\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 3& 4\\ -4& 6& 7& 8\\ 5& 10& 11& 12\\ -6& 14& 15& 16\end{array}\right| \end{gathered}$$

7/7 给一方程组，判读其解的情况

克拉默法则

请判断下列方程组是否有唯一解
$$\begin{gathered} X_1+2X_2+3X_3=0 \\ 4X_1+5X_2+6X_3=0 \\ 7X_1+8X_2+9X_3=0 \\ ①【齐次】 \\ ②D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right| \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} X_1+2X_2+3X_3=1 \\ 4X_1+5X_2+6X_3=2 \\ 7X_1+8X_2+9X_3=3 \\ ①【非齐次】 \\ ②D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right| \end{gathered}$$

方程组	D≠0	D=0
其次	只有一组零解	有零解与非零解
非其次	只有一组非零解	有多个解或无解

齐次方程组必有零解，当D≠0时只有一组解；

无论是齐次还是非其次，当D≠0时都只有一组解