18、薄板弯曲的哈密顿系统：从理论到应用

mqtt6iot

于 2025-11-16 05:29:33 发布

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分类专栏：辛弹性力学的奥秘文章标签：薄板弯曲哈密顿系统矩形板

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薄板弯曲的哈密顿系统：从理论到应用

在工程领域，薄板弯曲问题一直是研究的重点。传统的解决方法存在一定的局限性，而基于哈密顿系统的新方法为解决薄板弯曲问题提供了新的思路和途径。本文将详细介绍薄板弯曲的哈密顿系统，包括矩形板和扇形板的弯曲问题，并对比新旧方法的差异。

1. 矩形板两侧夹紧的弯曲问题

1.1 边界条件

对于两侧 $y = ±b$ 夹紧的矩形板，边界条件为：
- $w = 0$
- $\theta = \frac{\partial w}{\partial y} = 0$，在 $y = ±b$ 处

用全状态向量表示为：
- $\frac{1}{D}\frac{\partial \varphi_y}{\partial y} - \nu\kappa_y = 0$
- $\kappa_{xy} = 0$，在 $y = ±b$ 处

1.2 特征值与特征向量

由于零特征值的六个特征解（包括约旦形式特征解）无实际物理意义，这里仅讨论非零特征值的特征解。解可分为关于 $x$ 轴对称变形和反对称变形两组。

1.2.1 对称变形

将仅含 $A$ 和 $C$ 项的解代入齐次边界条件并令系数矩阵行列式为零，得到对称变形的非零特征值的超越方程：
$2\mu b + \sin(2\mu b) = 0$

前几个特征值如下表所示：
| n | Re(µnb) | Im(µnb) |
| — | — | — |
| 1 | $\frac{\pi}{2} + 0.5354$ | 1.1254 |
| 2 | $\frac{3\pi}{2} + 0.6439$ | 1.5516 |
| 3 | $\frac{5\pi}{2} + 0.6827$ | 1.7755 |
| 4 | $\frac{7\pi}{2} + 0.7036$ | 1.9294 |
| 5 | $\frac{9\pi}{2} + 0.7169$ | 2.0469 |

对应的特征向量为：
$\psi_n =
\begin{cases}
- [\cos^2(\mu_n b) + \frac{1 + \nu}{1 - \nu}] \cos(\mu_n y) + \mu_n y \sin(\mu_n y) \
[\cos^2(\mu_n b) - \frac{2}{1 - \nu}] \sin(\mu_n y) + \mu_n y \cos(\mu_n y) \
\frac{\mu_n}{D(1 - \nu)}{ - [1 + \cos^2(\mu_n b)] \cos(\mu_n y) + \mu_n y \sin(\mu_n y) } \
\frac{\mu_n}{D(1 - \nu)}{ \cos^2(\mu_n b) \sin(\mu_n y) + \mu_n y \cos(\mu_n y) }
\end{cases}$

原问题的解为：
$v_n = \exp(\mu_n x)\psi_n$

板的挠度为：
$w_n = - \frac{\exp(\mu_n x)}{D\mu_n(1 - \nu)}{ \sin^2(\mu_n b) \cos(\mu_n y) + \mu_n y \sin(\mu_n y) }$

1.2.2 反对称变形

将仅含 $B$ 和 $D$ 项的解代入齐次边界条件，得到反对称变形的非零特征值的超越方程：
$2\mu b = \sin(2\mu b)$

前几个特征值如下表所示：
| n | Re(µnb) | Im(µnb) |
| — | — | — |
| 1 | $\pi + 0.6072$ | 1.3843 |
| 2 | $2\pi + 0.6668$ | 1.6761 |
| 3 | $3\pi + 0.6954$ | 1.8584 |
| 4 | $4\pi + 0.7109$ | 1.9916 |
| 5 | $5\pi + 0.7219$ | 2.0966 |

对应的特征向量为：
$\psi_n =
\begin{cases}
- [\sin^2(\mu_n b) + \frac{1 + \nu}{1 - \nu}] \sin(\mu_n y) - \mu_n y \cos(\mu_n y) \
[\frac{2}{1 - \nu} - \sin^2(\mu_n b)] \cos(\mu_n y) + \mu_n y \sin(\mu_n y) \
- \frac{\mu_n}{D(1 - \nu)}{ [1 + \sin^2(\mu_n b)] \sin(\mu_n y) + \mu_n y \cos(\mu_n y) } \
\frac{\mu_n}{D(1 - \nu)}{ - \sin^2(\mu_n b) \cos(\mu_n y) + \mu_n y \sin(\mu_n y) }
\end{cases}$

原问题的解为：
$\overline{v}_n = \exp(\mu_n x)\psi_n$

板的挠度为：
$w_n = \frac{\exp(\mu_n x)}{D\mu_n(1 - \nu)}{ - \cos^2(\mu_n b) \sin(\mu_n y) + \mu_n y \cos(\mu_n y) }$

1.3 均匀分布荷载下的具体例子

对于完全夹紧的矩形板在均匀分布荷载 $q$ 作用下的弯曲问题，由于问题关于 $x$ 轴对称，展开式仅由非零特征值的对称特征解构成：
$v = \sum_{n = 1}^{\infty} (f_n v_n + \tilde{f} n \tilde{v}_n + f {-n} v_{-n} + \tilde{f} {-n} \tilde{v} {-n})$

板的挠度为：
$w = w^* + \sum_{n = 1}^{\infty} (f_n w_n + \tilde{f} n \tilde{w}_n + f {-n} w_{-n} + \tilde{f} {-n} \tilde{w} {-n})$

其中，$w^* = \frac{q}{24D}(y^2 - b^2)^2$ 是由分布荷载 $q$ 引起的特解。

通过边界条件 $\kappa_y = \kappa_{xy} = 0$ 在 $x = ±a$ 处确定未知常数 $f_i, \tilde{f}_i$。在实际应用中，只需求解式中的前 $k$ 项。

对于泊松比 $\nu = 0.3$ 的薄板，取 $k = 4$ 的结果如下表所示：
| a/b | Dw(0,0)/16qb^4 | Mx(a,0)/4qb^2 | My(0,b)/4qb^2 | Mx(0,0)/4qb^2 | My(0,0)/4qb^2 |
| — | — | — | — | — | — |
| 1.0 | 0.00127(0.00126) | 0.0514(0.0513) | 0.0513(0.0513) | -0.0229(-0.0231) | -0.0229(-0.0231) |
| 1.1 | 0.00151(0.00150) | 0.0539(0.0538) | 0.0581(0.0581) | -0.0231(-0.0231) | -0.0267(-0.0264) |
| 1.2 | 0.00173(0.00172) | 0.0554(0.0554) | 0.0639(0.0639) | -0.0228(-0.0228) | -0.0300(-0.0299) |
| 1.3 | 0.00191(0.00191) | 0.0563(0.0563) | 0.0687(0.0687) | -0.0222(-0.0222) | -0.0327(-0.0327) |
| 1.4 | 0.00207(0.00207) | 0.0568(0.0568) | 0.0726(0.0726) | -0.0213(-0.0212) | -0.0350(-0.0349) |
| 1.5 | 0.00220(0.00220) | 0.0570(0.0570) | 0.0757(0.0757) | -0.0203(-0.0203) | -0.0368(-0.0368) |
| 1.6 | 0.00230(0.00230) | 0.0571(0.0571) | 0.0780(0.0780) | -0.0193(-0.0193) | -0.0382(-0.0381) |
| 1.7 | 0.00238(0.00238) | 0.0571(0.0571) | 0.0798(0.0799) | -0.0183(-0.0182) | -0.0393(-0.0392) |
| 1.8 | 0.00245(0.00245) | 0.0571(0.0571) | 0.0812(0.0812) | -0.0174(-0.0174) | -0.0401(-0.0401) |
| 1.9 | 0.00250(0.00249) | 0.0570(0.0571) | 0.0822(0.0822) | -0.0165(-0.0165) | -0.0407(-0.0407) |
| 2.0 | 0.00253(0.00254) | 0.0570(0.0571) | 0.0829(0.0829) | -0.0158(-0.0158) | -0.0412(-0.0412) |

2. 扇形板的弯曲问题

2.1 基本方程

在极坐标下，扇形板弯曲的基本方程包括：
- 曲率 - 挠度关系 ：
$\begin{cases}
\kappa_{\phi} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial w}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 w}{\partial \phi^2} \
\kappa_{\rho} = \frac{\partial^2 w}{\partial \rho^2} \
\kappa_{\rho \phi} = - \frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{1}{\rho}\frac{\partial w}{\partial \phi})
\end{cases}$
- 弯矩 - 曲率关系 ：
$\begin{cases}
M_{\phi} \
M_{\rho} \
2M_{\rho \phi}
\end{cases} = D
\begin{bmatrix}
1 & \nu & 0 \
\nu & 1 & 0 \
0 & 0 & 2(1 - \nu)
\end{bmatrix}
\begin{cases}
\kappa_{\phi} \
\kappa_{\rho} \
\kappa_{\rho \phi}
\end{cases}$
- 平衡方程 ：
$\begin{cases}
\frac{\partial M_{\rho}}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial M_{\rho \phi}}{\partial \phi} + \frac{M_{\rho} - M_{\phi}}{\rho} = F_{S\rho} \
\frac{1}{\rho}\frac{\partial M_{\phi}}{\partial \phi} - \frac{2}{\rho}M_{\rho \phi} - \frac{\partial M_{\rho \phi}}{\partial \rho} = F_{S\phi}
\end{cases}$
$\frac{\partial F_{S\rho}}{\partial \rho} + \frac{F_{S\rho}}{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_{S\phi}}{\partial \phi} = q$

2.2 哈密顿系统的推导

引入变换 $\xi = \ln \rho$，并记：
- $\xi_1 = \ln R_1$
- $\xi_2 = \ln R_2$
- $s_{\rho} = \rho \kappa_{\rho}$
- $s_{\phi} = \rho \kappa_{\phi}$
- $s_{\rho \phi} = \rho \kappa_{\rho \phi}$

则 Pro - H - R 变分原理可表示为：
$\delta \int_{-\alpha}^{\alpha} \int_{\xi_1}^{\xi_2} [s_{\phi}\frac{\partial \varphi_{\rho}}{\partial \xi} + s_{\rho}(\varphi_{\rho} + \frac{\partial \varphi_{\phi}}{\partial \phi}) + s_{\rho \phi}(\frac{\partial \varphi_{\phi}}{\partial \xi} - \varphi_{\phi} + \frac{\partial \varphi_{\rho}}{\partial \phi}) - \frac{1}{2}D(s_{\phi}^2 + s_{\rho}^2 + 2\nu s_{\phi} s_{\rho} + 2(1 - \nu)s_{\rho \phi}^2)] d\xi d\phi = 0$

进一步处理，得到对偶方程组：
$\dot{v} = Hv$

其中，$v = { \varphi_{\rho}, \varphi_{\phi}, s_{\phi}, s_{\rho \phi} }^T$ 是全状态向量，算子矩阵 $H$ 为：
$H =
\begin{bmatrix}
\nu & \nu \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{D}{1 - \nu^2} & 0 \
-\frac{\partial}{\partial \phi} & 1 & 0 & \frac{2D}{1 - \nu} \
\frac{1}{D} & \frac{1}{D}\frac{\partial}{\partial \phi} & -\nu & -\frac{\partial}{\partial \phi} \
-\frac{1}{D}\frac{\partial}{\partial \phi} & -\frac{1}{D}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} & \nu \frac{\partial}{\partial \phi} & -1
\end{bmatrix}$

2.3 特征值与特征向量

采用分离变量法，设 $v(\xi, \phi) = e^{\mu \xi} \psi(\phi)$，得到特征值方程：
$H\psi(\phi) = \mu \psi(\phi)$

特征向量 $\psi(\phi)$ 需满足两侧 $\phi = ±\alpha$ 的相应齐次边界条件。

对于一般非零特征值的特征解，其通解为：
$\begin{cases}
\varphi_{\rho} = A_1 \cos[(1 + \mu)\phi] + B_1 \sin[(1 + \mu)\phi] + C_1 \cos[(1 - \mu)\phi] + D_1 \sin[(1 - \mu)\phi] \
\varphi_{\phi} = A_2 \sin[(1 + \mu)\phi] + B_2 \cos[(1 + \mu)\phi] + C_2 \sin[(1 - \mu)\phi] + D_2 \cos[(1 - \mu)\phi] \
s_{\phi} = A_3 \cos[(1 + \mu)\phi] + B_3 \sin[(1 + \mu)\phi] + C_3 \cos[(1 - \mu)\phi] + D_3 \sin[(1 - \mu)\phi] \
s_{\rho \phi} = A_4 \sin[(1 + \mu)\phi] + B_4 \cos[(1 + \mu)\phi] + C_4 \sin[(1 - \mu)\phi] + D_4 \cos[(1 - \mu)\phi]
\end{cases}$

将其代入特征值方程，可得到各系数之间的关系。

2.4 两侧自由的扇形板

2.4.1 边界条件

两侧自由的扇形板，边界条件用全状态向量表示为：
- $\varphi_{\rho} = \varphi_{\phi} = 0$，在 $\phi = - \alpha$ 处
- $\varphi_{\rho} = \tilde{a} 1$，$\varphi {\phi} = \tilde{a}_0 + a_2 e^{\xi}$，在 $\phi = \alpha$ 处

2.4.2 特殊解

通过求解特定方程，得到三个特殊解 $\tilde{v}_0$，$\tilde{v}_1$，$\tilde{v}_2$，分别对应单位弯矩、单位扭矩和单位垂直集中力作用于顶点的情况。

2.4.3 齐次边界条件的解

对于两侧自由的板，齐次边界条件为 $\varphi_{\rho} = \varphi_{\phi} = 0$，在 $\phi = ±\alpha$ 处。解可分为关于 $\phi = 0$ 对称变形和反对称变形两组。

对称变形 ：
超越方程为：
$(3 + \nu) \sin(2\mu \alpha) - \mu(1 - \nu) \sin(2\alpha) = 0$

对应的特征解为：
$\psi_s =
\begin{cases}
D(1 - \nu){ - (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \sin[(1 - \mu)\alpha] \cos[(1 + \mu)\phi] + (3 + \nu - \mu + \nu\mu) \sin[(1 + \mu)\alpha] \cos[(1 - \mu)\phi] } \
D(1 - \nu)(3 + \nu + \mu - \nu\mu){ \sin[(1 - \mu)\alpha] \sin[(1 + \mu)\phi] - \sin[(1 + \mu)\alpha] \sin[(1 - \mu)\phi] } \
\mu{ - (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \sin[(1 - \mu)\alpha] \cos[(1 + \mu)\phi] + (1 - \nu)(3 - \mu) \sin[(1 + \mu)\alpha] \cos[(1 - \mu)\phi] } \
\mu{ (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \sin[(1 - \mu)\alpha] \sin[(1 + \mu)\phi] + (1 - \nu)(1 - \mu) \sin[(1 + \mu)\alpha] \sin[(1 - \mu)\phi] }
\end{cases}$

原问题的解为：
$v_s = \exp(\mu \xi) \psi_s = \rho^{\mu} \psi_s$

板的挠度为：
$w_s = \rho^{\mu + 1} [\frac{3 + \nu + \mu - \nu\mu}{1 + \mu} \sin[(1 - \mu)\alpha] \cos[(1 + \mu)\phi] + (1 - \nu) \sin[(1 + \mu)\alpha] \cos[(1 - \mu)\phi]] + $ 刚体位移

反对称变形 ：
超越方程为：
$(3 + \nu) \sin(2\mu \alpha) + \mu(1 - \nu) \sin(2\alpha) = 0$

对应的特征解为：
$\psi_a =
\begin{cases}
D(1 - \nu){ (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \cos[(1 - \mu)\alpha] \sin[(1 + \mu)\phi] - (3 + \nu - \mu + \nu\mu) \cos[(1 + \mu)\alpha] \sin[(1 - \mu)\phi] } \
D(1 - \nu)(3 + \nu + \mu - \nu\mu){ \cos[(1 - \mu)\alpha] \cos[(1 + \mu)\phi] - \cos[(1 + \mu)\alpha] \cos[(1 - \mu)\phi] } \
\mu{ (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \cos[(1 - \mu)\alpha] \sin[(1 + \mu)\phi] - (1 - \nu)(3 - \mu) \cos[(1 + \mu)\alpha] \sin[(1 - \mu)\phi] } \
\mu{ (3 + \nu + \mu - \nu\mu) \cos[(1 - \mu)\alpha] \cos[(1 + \mu)\phi] + (1 - \nu)(1 - \mu) \cos[(1 + \mu)\alpha] \cos[(1 - \mu)\phi] }
\end{cases}$

原问题的解为：
$v_a = \exp(\mu \xi) \psi_a = \rho^{\mu} \psi_a$

板的挠度为：
$w_a = - \rho^{\mu + 1} [\frac{3 + \nu + \mu - \nu\mu}{1 + \mu} \cos[(1 - \mu)\alpha] \sin[(1 + \mu)\phi] + (1 - \nu) \cos[(1 + \mu)\alpha] \sin[(1 - \mu)\phi]] + $ 刚体位移

2.5 一般解

根据展开定理，两侧自由的扇形板的一般解为：
$v = a_0 \tilde{v} 0 + a_1 \tilde{v}_1 + a_2 \tilde{v}_2 + \sum {n = 1}^{\infty} (b_n v_n + c_n v_{-n})$

将其代入两端（$\rho = R_1$ 和 $R_2$）的边界条件，确定相关常数，即可得到问题的解析解。

3. 新旧方法对比

传统方法采用位移和双调和方程，通过试错法求解，只能对两侧简支的矩形板建立解析解，对于其他边界约束情况则不实用。

基于哈密顿系统的新方法采用力和弯矩函数向量，通过分离变量法、特征函数、辛正交系统、展开定理等有效方法建立解析解，突破了传统试错法的局限性。

综上所述，基于哈密顿系统的新方法为薄板弯曲问题提供了更有效的解决方案，具有重要的工程应用价值。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B{问题类型}:::decision
    B -->|矩形板两侧夹紧| C(确定边界条件):::process
    B -->|扇形板| D(确定极坐标基本方程):::process
    C --> E(求解特征值与特征向量):::process
    D --> E
    E --> F(根据荷载情况确定特解):::process
    F --> G(构建一般解):::process
    G --> H(代入边界条件确定常数):::process
    H --> I([得到解析解]):::startend

通过上述流程图，我们可以清晰地看到解决薄板弯曲问题的一般步骤。无论是矩形板还是扇形板，都需要先确定问题类型，然后根据不同类型确定相应的条件和方程，接着求解特征值和特征向量，再根据荷载情况确定特解，构建一般解，最后代入边界条件确定常数，从而得到解析解。这种基于哈密顿系统的方法为薄板弯曲问题的解决提供了系统、有效的途径。

4. 方法优势与应用前景

4.1 方法优势

基于哈密顿系统的新方法相较于传统方法具有显著优势，具体如下：
- 解析解获取能力 ：传统方法受限于试错法，仅能对两侧简支的矩形板建立解析解。而新方法通过分离变量法、特征函数、辛正交系统和展开定理等，能够为更多边界条件下的薄板弯曲问题建立解析解，大大扩展了解析解的适用范围。
- 解决复杂问题能力 ：对于矩形板两侧夹紧、扇形板两侧自由等复杂边界条件问题，传统方法难以处理，新方法则能通过系统的步骤，如确定边界条件、求解特征值和特征向量、构建一般解等，有效解决这些复杂问题。
- 避免刚体位移问题 ：新方法用曲率代替挠度，避免了薄板的三个刚体位移问题，使求解过程更加简洁有效。

4.2 应用前景

工程设计领域 ：在建筑、机械、航空航天等工程设计中，薄板结构广泛应用。新方法能够为薄板结构的设计提供更准确的力学分析，帮助工程师优化设计方案，提高结构的安全性和可靠性。
科学研究领域 ：对于薄板力学的理论研究，新方法提供了新的研究视角和工具，有助于深入理解薄板弯曲的力学机制，推动相关理论的发展。

5. 实际应用案例分析

5.1 矩形板在均匀荷载下的应用

考虑一个完全夹紧的矩形板在均匀分布荷载 $q$ 作用下的弯曲问题。假设该矩形板用于建筑屋顶，承受均匀的积雪荷载。
- 确定参数 ：已知板的尺寸 $a$ 和 $b$，泊松比 $\nu = 0.3$，荷载 $q$，以及抗弯刚度 $D$。
- 求解过程 ：
1. 根据对称特征解（8.7.3） - （8.7.6）构建展开式 $v = \sum_{n = 1}^{\infty} (f_n v_n + \tilde{f} n \tilde{v}_n + f {-n} v_{-n} + \tilde{f} {-n} \tilde{v} {-n})$ 和挠度表达式 $w = w^ + \sum_{n = 1}^{\infty} (f_n w_n + \tilde{f} n \tilde{w}_n + f {-n} w_{-n} + \tilde{f} {-n} \tilde{w} {-n})$，其中 $w^ = \frac{q}{24D}(y^2 - b^2)^2$ 是特解。
2. 通过边界条件 $\kappa_y = \kappa_{xy} = 0$ 在 $x = ±a$ 处确定未知常数 $f_i, \tilde{f}_i$。在实际应用中，通常只需求解前 $k$ 项，如取 $k = 4$。
3. 得到挠度和内力分布，评估板的安全性和可靠性。

5.2 扇形板在特殊荷载下的应用

假设一个扇形板用于机械零件，顶点承受垂直集中力。
- 确定参数 ：已知扇形板的半径 $R_1$ 和 $R_2$，夹角 $2\alpha$，泊松比 $\nu$，以及抗弯刚度 $D$。
- 求解过程 ：
1. 确定极坐标下的基本方程，包括曲率 - 挠度关系、弯矩 - 曲率关系和平衡方程。
2. 推导哈密顿系统，得到对偶方程组 $\dot{v} = Hv$。
3. 求解特殊解 $\tilde{v} 0$，$\tilde{v}_1$，$\tilde{v}_2$，分别对应单位弯矩、单位扭矩和单位垂直集中力作用于顶点的情况。
4. 对于两侧自由的情况，求解对称和反对称变形的特征值和特征向量，构建一般解 $v = a_0 \tilde{v}_0 + a_1 \tilde{v}_1 + a_2 \tilde{v}_2 + \sum {n = 1}^{\infty} (b_n v_n + c_n v_{-n})$。
5. 代入两端（$\rho = R_1$ 和 $R_2$）的边界条件，确定相关常数，得到问题的解析解。

6. 总结与展望

6.1 总结

本文详细介绍了薄板弯曲的哈密顿系统，涵盖了矩形板两侧夹紧和扇形板两侧自由的弯曲问题。通过对比新旧方法，我们发现基于哈密顿系统的新方法具有显著优势，能够有效解决传统方法难以处理的复杂问题。具体内容总结如下表：
|问题类型|传统方法局限性|新方法优势|
| ---- | ---- | ---- |
|矩形板两侧夹紧|难以建立解析解|通过特征值和特征向量求解，构建一般解|
|扇形板两侧自由|无法有效处理|利用哈密顿系统推导，得到解析解|

6.2 展望

虽然基于哈密顿系统的新方法在薄板弯曲问题上取得了显著成果，但仍有一些方面值得进一步研究和探索：
- 拓展应用范围 ：将新方法应用于更复杂的薄板结构，如带孔薄板、复合材料薄板等。
- 优化求解算法 ：进一步提高求解效率和精度，减少计算时间和误差。
- 结合数值方法 ：将新方法与数值方法相结合，充分发挥两者的优势，解决更广泛的工程问题。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([当前薄板弯曲研究]):::startend --> B{未来研究方向}:::decision
    B -->|拓展应用范围| C(研究带孔薄板、复合材料薄板等):::process
    B -->|优化求解算法| D(提高求解效率和精度):::process
    B -->|结合数值方法| E(与数值方法优势互补):::process
    C --> F([取得新成果]):::startend
    D --> F
    E --> F

通过上述流程图，我们可以清晰地看到薄板弯曲研究的未来发展方向。无论是拓展应用范围、优化求解算法还是结合数值方法，都将有助于推动薄板弯曲问题研究的进一步发展，为工程领域提供更有效的解决方案。