17、辛弹性与薄板弯曲问题的变分原理及求解方法

辛弹性与薄板弯曲问题的变分原理及求解方法

1. 薄板弯曲的多变量变分原理

薄板弯曲问题存在一个最广义的多变量变分原理，其表达式（8.3.26）包含了所有五种基本方程（8.3.1） - （8.3.5）以及边界条件（8.3.18） - （8.3.21）。通过特定条件（如 $\kappa_0 = 0$，$\varphi = 0$，$m_a = m_{0a}$ 等）并对 $m$ 取极值，可以从该多变量变分原理推导出胡 - 鹫津变分原理：
[
\delta\Pi_3 = \delta\left{\iint_{\Omega}\left{m_a^T K(\partial)w + v_{\varepsilon}(\kappa)-\kappa^T m_a -qw\right}dxdy + \int_{\Gamma_u}[(w - \overline{w})F_{Va_n}-(\theta_n - \overline{\theta_n})M_{a_n}]ds + \int_{\Gamma_{\sigma}}[wF_{V_n}-\theta_n M_n]ds + \int_{\Gamma_s}[(w - \overline{w})F_{Va_n}-\theta_n M_n]ds\right} = 0
]

2. 平面弹性的多变量变分原理

对于存在残余变形的平面弹性问题，在区域内有五种基本方程：
1. 应变协调方程 ：$\hat{K}(\partial)\varepsilon_a = \hat{K}(\partial)\varepsilon_{0a}$，其中 $\varepsilon_{0a}$ 是由温度等因素引起的初始不相容应变的已知量。
2. 应变 - 位移关系 ：$\varepsilon = \varepsilon_a + \hat{E}(\nabla)u$
3. 应力与应力函数关系 ：$\sigma = \sigma_0 + K(\partial)\varphi_f -\frac{\partial v_{\varepsilon}(\varepsilon_a - \varepsilon_{0a})}{\partial\varepsilon_a}$，其中 $\sigma_0$ 是对应于已知体力 $F$ 的非齐次特解。
4. 平衡方程 ：$E(\nabla)\sigma = E(\nabla)\sigma_0 = F$
5. 应力 - 应变关系 ：$\sigma = \frac{\partial v_{\varepsilon}(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}$

一般的边界条件如下：
|边界类型|边界条件|
| ---- | ---- |
|位移边界 $\Gamma_u$|$u_n = \overline{u_n}$ 且 $u_s = \overline{u_s}$|
|力边界 $\Gamma_{\sigma}$|$\sigma_n = \overline{\sigma_n}$ 且 $\tau_{ns} = \overline{\tau_{ns}}$|
|简支边界 $\Gamma_s$|$u_n = \overline{u_n}$ 且 $\tau_{ns} = \overline{\tau_{ns}}$|

此外，完整边界 $\Gamma = \Gamma_u + \Gamma_{\sigma} + \Gamma_s$ 还有边界条件 $\varepsilon_{as} - \varepsilon_{0as} = \eta_{ans} - \eta_{0ans} = 0$。

最终得到的具有五种独立变量 $\varphi_f$，$\sigma$，$\varepsilon_a$，$u$，$\varepsilon$ 的多变量变分原理为 $\delta\Pi_M = 0$，其中泛函为：
[
\Pi_M = \iint_{\Omega}\left{(\varepsilon_a - \varepsilon_{0a})^T K(\partial)\varphi_f + \sigma^T\varepsilon - v_{\varepsilon}(\varepsilon) - v_{\varepsilon}(\varepsilon_a - \varepsilon_{0a})-(\sigma - \sigma_0)^T[\varepsilon_a + \hat{E}(\nabla)u]\right}dxdy + \int_{\Gamma_u}[(u_n - \overline{u_n})\sigma_n - u_n\sigma_{0n} + (u_s - \overline{u_s})\tau_{ns} - u_s\tau_{0ns}]ds + \int_{\Gamma_{\sigma}}[u_n(\sigma_n - \sigma_{0n}) + u_s(\tau_{ns} - \tau_{0ns})]ds + \int_{\Gamma_s}[(u_n - \overline{u_n})\sigma_n - u_n\sigma_{0n} + u_s(\tau_{ns} - \tau_{0ns})]ds
]

该变分原理不仅适用于存在残余变形的弹性问题，还可用于推导扁壳的多变量变分原理。

3. 矩形板的辛求解

将平面弹性问题引入哈密顿系统可以推导辛求解系统，通过薄板弯曲与平面弹性的类比也能建立薄板弯曲的辛求解系统。该系统适用于矩形域和扇形域。

引入 Pro - H - R 变分原理（8.2.21）将相关方程引入辛系统，得到哈密顿混合能量变分原理：
[
\delta\left{\int_{x_0}^{x_f}\int_{b_1}^{b_2}\left[\kappa_y\dot{\varphi} x + \kappa {xy}\dot{\varphi} y - \nu\kappa_y\frac{\partial\varphi_y}{\partial y} + \kappa {xy}\frac{\partial\varphi_x}{\partial y}+\frac{1}{2D}\left(\frac{\partial\varphi_y}{\partial y}\right)^2 - D(1 - \nu)\kappa_{xy}^2 - \frac{D(1 - \nu^2)}{2}\kappa_y^2\right]dydx - \int_{\Gamma_{\sigma}}[\kappa_{ns}(\varphi_s - \overline{\varphi_s}) + \kappa_s(\varphi_n - \overline{\varphi_n})]ds - \int_{\Gamma_u}(\varphi_s\kappa_{ns} + \varphi_n\kappa_s)ds\right} = 0
]

其在区域内的变分产生哈密顿对偶方程 $\dot{v} = Hv$，其中哈密顿算子矩阵 $H$ 为：
[
H =
\begin{bmatrix}
0 & \nu\frac{\partial}{\partial y} & D(1 - \nu^2) & 0 \
-\frac{\partial}{\partial y} & 0 & 0 & 2D(1 - \nu) \
0 & 0 & 0 & -\frac{\partial}{\partial y} \
0 & -\frac{1}{D}\frac{\partial^2}{\partial y^2} & \nu\frac{\partial}{\partial y} & 0
\end{bmatrix}
]
$v = {\varphi_x, \varphi_y, \kappa_y, \kappa_{xy}}^T$ 是全状态向量。

通过分离变量法，假设 $v(x, y) = \xi(x)\psi(y)$，可得到 $\xi(x) = e^{\mu x}$ 和特征值方程 $H\psi(y) = \mu\psi(y)$。哈密顿算子矩阵 $H$ 具有特殊性质：
1. 若 $\mu$ 是哈密顿矩阵的特征值，则 $-\mu$ 也是特征值，无穷多个特征值可分为两组。
2. 哈密顿算子矩阵的特征向量相互伴随辛正交。

对于非零特征值的情况，可通过求解相关方程得到一般解。具体步骤如下：
1. 展开特征值方程（8.4.16）得到一组关于 $y$ 的常微分方程组。
2. 求解 $y$ 方向的特征值 $\lambda$，其特征值方程为 $\det\begin{bmatrix}-\mu & \nu\lambda & D(1 - \nu^2) & 0 \ -\lambda & -\mu & 0 & 2D(1 - \nu) \ 0 & 0 & -\mu & -\lambda \ 0 & -\lambda^2/D & \nu\lambda & -\mu\end{bmatrix}= 0$，展开行列式得到 $(\lambda^2 + \mu^2)^2 = 0$，特征值为 $\lambda = \pm\mu i$。
3. 得到非零特征值的一般解：
[
\begin{cases}
\varphi_x = A_1\cos(\mu y) + B_1\sin(\mu y) + C_1y\sin(\mu y) + D_1y\cos(\mu y) \
\varphi_y = A_2\sin(\mu y) + B_2\cos(\mu y) + C_2y\cos(\mu y) + D_2y\sin(\mu y) \
\kappa_y = A_3\cos(\mu y) + B_3\sin(\mu y) + C_3y\sin(\mu y) + D_3y\cos(\mu y) \
\kappa_{xy} = A_4\sin(\mu y) + B_4\cos(\mu y) + C_4y\cos(\mu y) + D_4y\sin(\mu y)
\end{cases}
]
其中常数之间存在一定关系，如 $A_1 = -A_2 -\frac{3 + \nu}{\mu(1 - \nu)}C_2$ 等。

4. 两对边简支板的弯曲问题

对于两对边 $y = 0$ 和 $y = b$ 简支的板，边界条件为 $w = 0$，$M_y = 0$。用全状态向量表示为 $\varphi_x = 0$，$\frac{1}{D}\frac{\partial\varphi_y}{\partial y} - \nu\kappa_y = 0$。

首先求解边界条件中的非齐次项，但部分解（如 $a_1$ 项）无物理意义应舍弃。对于齐次边界条件 $\varphi_x = 0$，$\frac{1}{D}\frac{\partial\varphi_y}{\partial y} - \nu\kappa_y = 0$，零特征值的特征解无物理意义，非零特征值的情况如下：
1. 得到非零特征值的超越方程 $\sin^2(\mu b) = 0$，解为 $\mu_n = \frac{n\pi}{b}$（$n = \pm1, \pm2, \cdots$）。
2. 对应的基本特征向量为 $\psi_n^{(0)} = \begin{cases}\frac{D(1 - \nu)}{\mu_n}\sin(\mu_n y) \ \frac{D(1 - \nu)}{\mu_n}\cos(\mu_n y) \ \sin(\mu_n y) \ \cos(\mu_n y)\end{cases}$，方程（8.4.3）的解为 $v_n^{(0)} = \exp(\mu_n x)\psi_n^{(0)}$。
3. 由于特征值 $\mu_n$ 是二重根，存在一阶约当型特征解，通过求解 $H\psi_n^{(1)} = \mu_n\psi_n^{(1)} + \psi_n^{(0)}$ 并施加边界条件得到 $\psi_n^{(1)}$，进而得到 $v_n^{(1)}$。

这些特征向量伴随辛正交，根据展开定理，两对边简支板弯曲的一般解可表示为：
[
v = \sum_{n = 1}^{\infty}[f_n^{(0)}v_n^{(0)} + f_n^{(1)}v_n^{(1)} + f_{-n}^{(0)}v_{-n}^{(0)} + f_{-n}^{(1)}v_{-n}^{(1)}]
]

该解与经典的 Levy 解本质上是等价的，但理论基础不同，且这里的特征向量展开法可推广到其他边界条件的问题求解。

5. 两对边自由板的弯曲问题

对于两对边 $y = \pm b$ 自由的板，边界条件为 $M_y = 0$，$F_{V_y} = 0$，用全状态向量表示为 $\varphi_x = 0$，$\varphi_y = 0$（$y = -b$）；$\varphi_x = \tilde{a} = a_1 - a_2b$，$\varphi_y = a_0 + a_2x$（$y = b$）。

首先求解非齐次项 $a_0$，$a_1$，$a_2$：
1. 求解 $a_0$ 项，由 $H\psi_0^0 = 0$ 及相应边界条件得到 $\psi_0^0 = \left(0, \frac{y + b}{2b}, -\frac{\nu}{2bD(1 - \nu^2)}, 0\right)^T$，对应解为 $v_0^0 = \psi_0^0$，其物理意义为纯弯曲。
2. 求解 $a_1$ 项，由 $H\psi_1^0 = 0$ 及相应边界条件得到 $\psi_1^0 = \left(\frac{y + b}{2b}, 0, 0, \frac{1}{4bD(1 - \nu)}\right)^T$，对应解为 $v_1^0 = \psi_

辛弹性与薄板弯曲问题的变分原理及求解方法

6. 两对边自由板弯曲问题的深入分析

在上一部分中，我们已经求解出了两对边自由板边界条件中的非齐次项 (a_0)、(a_1)、(a_2) 所对应的解，接下来我们深入探讨满足齐次边界条件的解。

两对边自由板弯曲的齐次边界条件为 (\varphi_x = 0)，(\varphi_y = 0)（(y = \pm b)）。显然，满足方程（8.4.11）和（8.6.24）的特征解只有非零特征值的特征解，这些解可分为关于 (x) 的对称解和反对称解两组。

• 对称变形情况
  将方程（8.4.19）中仅含 (A) 和 (C) 项的解代入齐次边界条件（8.6.24），并令系数矩阵的行列式为零，可得到对称板变形的非零特征值的超越方程：
  [2\mu b(1 - \nu) = (3 + \nu)\sin(2\mu b)]
  设特征值 (\mu_n) 是该方程的解，对应的对称变形特征解为：
  [
  \psi_n =
  \begin{cases}
  -\frac{3 + \nu}{1 - \nu}\sin^2(\mu_n b)\cos(\mu_n y) + \mu_n y\sin(\mu_n y) \
  -\frac{3 + \nu}{1 - \nu}\cos^2(\mu_n b)\sin(\mu_n y) + \mu_n y\cos(\mu_n y) \
  \frac{\mu_n}{D(1 - \nu)^2}{[(3 + \nu)\cos^2(\mu_n b) - 3 + \nu]\cos(\mu_n y)+(1 - \nu)\mu_n y\sin(\mu_n y)} \
  \frac{\mu_n}{D(1 - \nu)^2}{[2 - (3 + \nu)\cos^2(\mu_n b)]\sin(\mu_n y)+(1 - \nu)\mu_n y\cos(\mu_n y)}
  \end{cases}
  ]
  方程（8.4.3）的解为 (v_n = \exp(\mu_n x)\psi_n)。通过方程（8.4.1）和曲率 - 挠度关系（8.1.7），积分后得到板的挠度为：
  [
  w_n = \exp(\mu_n x)\left(\frac{1 + \nu - (3 + \nu)\cos^2(\mu_n b)}{D(1 - \nu)^2\mu_n}\cos(\mu_n y) - \frac{y\sin(\mu_n y)}{D(1 - \nu)}\right)
  ]
  对于泊松比 (\nu = 0.3) 的板，可使用平面弹性中常用的牛顿法求解特征值，部分特征值如下表所示：
  | (n) | (Re(\mu_n b)) | (Im(\mu_n b)) |
  | ---- | ---- | ---- |
  | 1 | 1.2830 | 0 |
  | 2 | (\pi + 0.6973) | 0.5446 |
  | 3 | (2\pi + 0.7191) | 0.8808 |
  | 4 | (3\pi + 0.7313) | 1.0730 |
  | 5 | (4\pi + 0.7393) | 1.2101 |

对于 (n > 1)，每个 (n) 对应两个伴随辛特征值 (\mu_n) 和 (-\mu_n) 以及它们各自的复共轭特征值，共四个特征值；(n = 1) 时，特征值 (\mu_1) 为实数，只有一个伴随辛特征值 (-\mu_1)，共两个特征值，且这些特征值均为单根。

• 反对称变形情况
  将方程（8.4.19）中仅含 (B) 和 (D) 项的解代入齐次边界条件（8.6.24），并令系数矩阵的行列式为零，得到反对称板变形的非零特征值的超越方程：
  [2\mu b(1 - \nu) + (3 + \nu)\sin(2\mu b) = 0]
  对应的反对称变形特征解为：
  [
  \psi_n =
  \begin{cases}
  -\frac{3 + \nu}{1 - \nu}\cos^2(\mu_n b)\sin(\mu_n y) - \mu_n y\cos(\mu_n y) \
  \frac{3 + \nu}{1 - \nu}\sin^2(\mu_n b)\cos(\mu_n y) + \mu_n y\sin(\mu_n y) \
  \frac{\mu_n}{D(1 - \nu)^2}{[(3 + \nu)\sin^2(\mu_n b) - 3 + \nu]\sin(\mu_n y)-(1 - \nu)\mu_n y\cos(\mu_n y)} \
  \frac{\mu_n}{D(1 - \nu)^2}{[(3 + \nu)\sin^2(\mu_n b) - 2]\cos(\mu_n y)+ (1 - \nu)\mu_n y\sin(\mu_n y)}
  \end{cases}
  ]
  方程（8.4.3）的解为 (v_n = \exp(\mu_n x)\psi_n)。同样通过方程（8.4.1）和曲率 - 挠度关系（8.1.7），积分后得到板的挠度为：
  [
  w_n = \exp(\mu_n x)\left(\frac{1 + \nu - (3 + \nu)\sin^2(\mu_n b)}{D(1 - \nu)^2\mu_n}\sin(\mu_n y) + \frac{y\cos(\mu_n y)}{D(1 - \nu)}\right)
  ]
  对于泊松比 (\nu = 0.3) 的板，使用牛顿法求解的部分特征值如下表所示：
  | (n) | (Re(\mu_n b)) | (Im(\mu_n b)) |
  | ---- | ---- | ---- |
  | 1 | (0.5\pi + 0.5690) | 0 |
  | 2 | (0.5\pi + 0.7863) | 0 |
  | 3 | (1.5\pi + 0.7100) | 0.7439 |
  | 4 | (2.5\pi + 0.7259) | 0.9865 |

对于 (n > 2)，每个 (n) 对应两个伴随辛特征值 (\mu_n) 和 (-\mu_n) 以及它们各自的复共轭特征值，共四个特征值；(n = 1)、(2) 时，特征值为实数，只有伴随辛特征值，各有两个特征值，且这些特征值均为单根。

基于得到的特征值和特征向量以及伴随辛正交性，可利用展开定理建立解。

7. 半无限矩形薄板纯弯曲示例

下面以半无限矩形薄板纯弯曲问题为例进行说明。取 (b = 1)，(x = 0) 处板固定，(x \to \infty) 为自由端且有单位弯矩。

根据问题定义，(x \to \infty) 处只有弯矩，且变形关于 (x) 轴对称。因此，由方程（8.6.6）和方程（8.6.27）中实部 (Re(\mu_n) < 0) 的非零特征值对称特征解构建展开方程：
[v = 2v_0^0 + \sum_{n = 1}^{\infty}f_n\exp(\mu_n x)\psi_n]
该展开方程满足区域内的微分方程、(y = \pm b) 边的边界条件以及 (x \to \infty) 处的边界条件。利用 (x = 0) 处的固定边界条件确定常数 (f_n)（(n = 1, 2, \cdots)）。实际应用中，通常只需求解展开方程中的前 (k) 项。此时，(x = 0) 处边界条件的变分公式为：
[\int_{-b}^{b}[\kappa_y\delta\varphi_x + \kappa_{xy}\delta\varphi_y]_{x = 0}dy = 0]
由于存在复特征值和特征解，实际求解时需将方程（8.6.33）和（8.6.34）转化为实规范方程，具体细节可参考相关内容。

对于泊松比 (\nu = 0.3) 的薄板，取 (k = 11) 和 (k = 21) 计算得到的固定端弯矩分布表明，角点处存在应力奇异性，弯矩 (M_x \to -\infty)，弯矩存在波动。

8. 总结与展望

通过上述内容，我们详细探讨了薄板弯曲问题的多变量变分原理、矩形板的辛求解方法以及不同边界条件下薄板弯曲问题的求解。其中，多变量变分原理不仅适用于存在残余变形的弹性问题，还为扁壳多变量变分原理的推导提供了思路。辛求解方法通过引入哈密顿系统和分离变量法，将问题转化为特征值问题进行求解，哈密顿算子矩阵的特殊性质为求解提供了便利。

不同边界条件下的薄板弯曲问题，如两对边简支和两对边自由的情况，我们分别求解了其特征值和特征向量，并得到了相应的挠度解。这些解与经典解本质上等价，但理论基础不同，且特征向量展开法具有更广泛的适用性，可推广到其他边界条件的问题求解。

未来，我们可以进一步研究更复杂边界条件下薄板弯曲问题的求解，拓展辛求解方法的应用范围。同时，可以结合数值计算方法，提高求解的精度和效率，为工程实际中的薄板结构设计提供更有力的理论支持。

整个求解过程的流程图如下：

graph TD;
    A[薄板弯曲问题] --> B[确定基本方程和边界条件];
    B --> C[建立多变量变分原理];
    C --> D[引入哈密顿系统];
    D --> E[分离变量得到特征值方程];
    E --> F[求解特征值和特征向量];
    F --> G[根据边界条件确定常数得到解];
    G --> H[分析解的性质和应用];

通过这样的研究和拓展，我们有望更好地理解薄板结构的力学性能，为相关工程领域的发展做出贡献。