17、数值方法入门：从方程求解到微分方程建模

数值方法入门：从方程求解到微分方程建模

在科学和工程领域，许多数学问题并没有解析解，即无法用多项式和标准数学函数来表示。这时，数值方法就成为了寻找近似解的重要工具。本文将介绍一些常见的数值方法，包括方程求解、积分计算、数值微分以及微分方程的数值解，并通过具体的例子和代码来展示这些方法的应用。

1. 方程求解

求解方程 (f(x) = 0) 的根是数值分析中的一个基本问题。以下是几种常见的方法：

1.1 牛顿法

牛顿法是一种迭代方法，通过不断改进根的估计值来逼近真实根。如果 (x_k) 是根的一个近似值，那么下一个近似值 (x_{k+1}) 可以通过以下公式计算：
[x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f’(x_k)}]

实现牛顿法的步骤如下：
1. 输入初始值 (x_0) 和所需的相对误差 (e)。
2. 当相对误差 (|\frac{x_k - x_{k-1}}{x_k}| \geq e) 时，重复以下步骤，直到 (k = 20)（可根据需要调整）：
- 计算 (x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f’(x_k)})。
- 打印 (x_{k+1}) 和 (f(x_{k+1}))。
3. 停止迭代。

以下是一个使用牛顿法求解方程 (x^3 + x - 3 = 0) 的示例代码：

% 牛顿法求解方程 x^3 + x - 3 = 0
x0 = 1; % 初始值
e = 1e-6; % 相对误差
k_max = 20; % 最大迭代次数