1、辛弹性理论：弹性力学的新突破

辛弹性理论：弹性力学的新突破

1. 弹性力学求解困境

弹性力学作为数学物理中极为复杂的领域之一，涉及大量偏微分方程。自 19 世纪初基本方程建立以来，尽管历经一个多世纪的发展，其求解问题仍未得到完善解决，求解方法一直是弹性力学发展的瓶颈。

传统的弹性力学求解多采用半逆解法，该方法由圣维南在 1855 - 1856 年为解决弹性柱体的扭转和弯曲问题而引入，此后成为弹性力学的经典求解方法并沿用至今。半逆解法是一种试探性方法，仅适用于特定问题，缺乏通用性，往往只能得到特定解，无法保证解的完整性，且难以找到合适的试探函数来解决具体问题。

传统解析方法局限于单变量领域，通过消除各种未知函数，将问题转化为高阶偏微分方程进行求解。从数学系统的角度来看，这种单变量系统的求解属于拉格朗日方法，必然会导致高阶偏微分方程，使得数学物理中有效的变量分离和特征函数展开等方法无法应用。因此，半逆解法长期以来难以取得重大突破。

2. 辛弹性理论的引入

2.1 辛空间的概念与应用

“辛”（Symplectic）一词源于希腊语，于 1939 年由赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在《经典群、其不变量和表示》中首次引入。辛空间在物理学的多个领域，如量子力学（包括著名的杨 - 米尔斯场）、相对论、引力、天体物理学和经典力学等，已经应用多年。

在弹性力学中，20 世纪 90 年代初，有学者首次将辛方法应用于解决固体力学中的基本问题，这些问题长期以来一直是弹性力学发展的瓶颈。辛方法基于哈密顿原理和勒让德变换，通过特征函数展开来获得解析解。该方法具有合理性和系统性，推导过程清晰明了。

2.2 相比传统方法的优势

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