15、极坐标下平面弹性问题与薄板弯曲问题的哈密顿系统分析

极坐标下平面弹性问题与薄板弯曲问题的哈密顿系统分析

1. 极坐标下平面弹性问题求解方法

在规则区域组成的结构中，可运用解析方法确定相关刚度矩阵，再通过子结构关系将其与主结构相连。对于有限元法处理无限域问题较为不便的情况，无限域常可由规则的外部无限域和内部局部域组成。规则外部无限域的刚度矩阵可由哈密顿系统展开法给出，然后与内部有限域相连，这样规则外部无限域的刚度矩阵就是精确的，对数值求解这类问题具有重要意义。

扇形域问题的一个重要应用是断裂力学中奇异性的计算。奇异性的性质由特征值 $\mu$ 决定，它取决于裂纹尖端附近的材料分布，与远处的场特性无关。奇异性的强度则取决于周围的结构和加载条件。由于整个结构复杂，这种情况需要采用有限元法。可将裂纹处的扇形域视为整个结构的一个超单元，用解析方法求解扇形单元。为了与结构的其他部分相连，需要给出以裂纹尖端为中心的圆的单元刚度矩阵，从而计算应力强度因子。扇形域的单元刚度矩阵可通过变分原理结合特征向量展开法计算，该特征向量展开法甚至适用于不同介质粘结界面的奇异性问题。

2. 以圆周坐标为“时间”的哈密顿系统

在之前的推导中，曾将 $\xi$ 视为时间坐标，通过方程 (7.3.1) 消除横向 $\phi$ 方向的力得到哈密顿系统。实际上，也可将 $\phi$ 视为时间，此时 $\xi$ 成为横向方向。按照变分原理消除横向力，对式 (7.2.7) 关于 $S_{\rho}$ 求变分可得：
$S_{\rho} = E \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} + \nu S_{\phi}$ (7.6.1)

将其代入式 (7.2.7) 并消除 $S_{\rho}$（在域内无外力的情况下），得到混合能量变分原理的表达式：
$\delta \int_{-\alpha}^{\alpha} \int_{\xi_1}^{\xi_2} \left[ S_{\rho \phi} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \phi} + S_{\phi} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + S_{\phi} \left( u_{\rho} + \nu \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} \right) - S_{\rho \phi} \left( u_{\phi} - \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \xi} \right) + \frac{1}{2E} \left( \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} \right)^2 - \frac{1}{2E} \left( 1 - \nu^2 \right) S_{\phi}^2 + 2 (1 + \nu) S_{\rho \phi}^2 \right] d\xi d\phi = 0$ (7.6.2)

位移 $u_{\rho}$、$u_{\phi}$ 的对偶变量分别为 $S_{\rho \phi}$、$S_{\phi}$。设 $q = [u_{\rho}, u_{\phi}]^T$，$p = [S_{\rho \phi}, S_{\phi}]^T$，用点表示对 $\phi$ 的求导，则式 (7.6.2) 可写为：
$\delta \int_{-\alpha}^{\alpha} \int_{\xi_1}^{\xi_2} [p^T \dot{q} - H (q, p)] d\xi d\phi = 0$ (7.6.4)

其中哈密顿密度函数为：
$H (q, p) = S_{\rho \phi} \left( u_{\phi} - \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \xi} \right) - S_{\phi} \left( u_{\rho} + \nu \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} \right) - \frac{1}{2E} \left( \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} \right)^2 + \frac{1}{2E} \left( (1 - \nu^2) S_{\phi}^2 + 2(1 + \nu) S_{\rho \phi}^2 \right)$ (7.6.5)

展开变分表达式得到哈密顿对偶方程：
$\begin{cases}
\dot{q} = Aq + Dp \
\dot{p} = Bq - A^T p
\end{cases}$ (7.6.6)

其中：
$A = \begin{bmatrix}
0 & 1 - \frac{\partial \cdot}{\partial \xi} \
-1 - \nu \frac{\partial \cdot}{\partial \xi} & 0
\end{bmatrix}$，$A^T = \begin{bmatrix}
0 & -1 + \nu \frac{\partial \cdot}{\partial \xi} \
1 + \frac{\partial \cdot}{\partial \xi} & 0
\end{bmatrix}$
$D = \begin{bmatrix}
\frac{2(1 + \nu)}{E} & 0 \
0 & \frac{1 - \nu^2}{E}
\end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix}
-E \frac{\partial^2 \cdot}{\partial \xi^2} & 0 \
0 & 0
\end{bmatrix}$ (7.6.7)

在哈密顿变分原理 (7.6.4) 中，自由边界条件被视为变分自然边界条件。在 $\xi = \xi_1$ 和 $\xi = \xi_2$ 两侧的自由边界条件为：
$\begin{cases}
E \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \xi} + \nu S_{\phi} = 0 \
S_{\rho \phi} = 0
\end{cases}$ (7.6.8)

引入全状态向量 $v = \begin{bmatrix} q \ p \end{bmatrix} = [u_{\rho}, u_{\phi}, S_{\rho \phi}, S_{\phi}]^T$，则式 (7.6.6) 可改写为：
$\dot{v} = Hv$ (7.6.10)

其中哈密顿算子矩阵为：
$H = \begin{bmatrix} A & D \ B & -A^T \end{bmatrix}$ (7.6.11)

对偶方程 (7.6.10) 与边界条件 (7.6.8) 构成一个线性系统，叠加原理适用，分离变量法尤为有效。设 $v(\xi, \phi) = e^{\mu \phi} \psi(\xi)$，其中 $\mu$ 为特征值，$\psi(\xi)$ 为特征向量，特征值方程为：
$H \psi(\xi) = \mu \psi(\xi)$ (7.6.13)

同时，特征向量 $\psi(\xi)$ 需满足边界条件 (7.6.8)。通过定义辛内积 $\langle v_1, v_2 \rangle = \int_{\xi_1}^{\xi_2} v_1^T J v_2 d\xi$（其中 $J$ 为单位辛矩阵），可知全状态向量 $v$ 构成一个辛空间，算子矩阵 $H$ 是辛空间中的哈密顿算子矩阵。其特征值问题具有特殊性质，若 $\mu$ 是 $H$ 的特征值，则 $-\mu$ 也是特征值，特征值可分为两组：
- (α) $\mu_i$，$\text{Re}(\mu_i) < 0$ 或 $\text{Re}(\mu_i) = 0 \land \text{Im}(\mu_i) < 0$ ($i = 1, 2, \cdots$) (7.6.16a)
- (β) $\mu_{-i} = -\mu_i$ (7.6.16b)

并且特征向量是伴随辛正交归一的。

3. 零特征值的特征解

零特征值的特征解虽未包含在式 (7.6.16) 的分类中，但却是最重要的特征解。零特征值特征解的方程如下：
$\begin{cases}
0 + u_{\phi} - \frac{du_{\phi}}{d\xi} + \frac{2(1 + \nu)}{E} S_{\rho \phi} + 0 = 0 \
- u_{\rho} - \nu \frac{du_{\rho}}{d\xi} + 0 + 0 + \frac{1 - \nu^2}{E} S_{\phi} = 0 \
- E \frac{d^2 u_{\rho}}{d\xi^2} + 0 + 0 + S_{\phi} - \nu \frac{dS_{\phi}}{d\xi} = 0 \
0 + 0 - S_{\rho \phi} - \frac{dS_{\rho \phi}}{d\xi} + 0 = 0
\end{cases}$ (7.6.17)

由第四个方程和边界条件 (7.6.8) 可得 $S_{\rho \phi} = 0$，代入第一个方程得 $u_{\phi} = e^{\xi} = \rho$。联立求解第二个和第三个方程可得：
$u_{\rho} = c_1 e^{\xi} + c_2 e^{-\xi}$，$S_{\phi} = \frac{E}{1 - \nu} c_1 e^{\xi} + \frac{E}{1 + \nu} c_2 e^{-\xi}$

将解代入边界条件 (7.6.8) 可得积分常数 $c_1 = c_2 = 0$，所以零特征值的基本特征向量为：
$\psi_0^{(0)} = [0, e^{\xi}, 0, 0]^T$ (7.6.22)

它是原问题 (7.6.10) 的解，物理上解释为刚体转动。

由于零特征值的这个特征向量只有一个链，存在约旦形式特征向量。对应的方程为：
$\begin{cases}
0 + u_{\phi} - \frac{du_{\phi}}{d\xi} + \frac{2(1 + \nu)}{E} S_{\rho \phi} + 0 = 0 \
- u_{\rho} - \nu \frac{du_{\rho}}{d\xi} + 0 + 0 + \frac{1 - \nu^2}{E} S_{\phi} = e^{\xi} \
- E \frac{d^2 u_{\rho}}{d\xi^2} + 0 + 0 + S_{\phi} - \nu \frac{dS_{\phi}}{d\xi} = 0 \
0 + 0 - S_{\rho \phi} - \frac{dS_{\rho \phi}}{d\xi} + 0 = 0
\end{cases}$ (7.6.24)

类似基本特征解的求解过程，可得 $u_{\phi} = c e^{\xi}$，$S_{\rho \phi} = 0$，不妨设 $c = 0$。联立求解第二个和第三个方程可得：
$u_{\rho} = c_3 e^{\xi} + c_4 e^{-\xi} + \frac{1 - \nu}{2} \xi e^{\xi}$
$S_{\phi} = \frac{E}{1 - \nu} c_3 e^{\xi} + \frac{E}{1 + \nu} c_4 e^{-\xi} + \frac{E}{2} e^{\xi} \left( \xi + \frac{2 - \nu}{1 - \nu} \right)$

将解代入边界条件 (7.6.8) 可得常数：
$c_3 = -\frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{(1 - \nu) R_2^2 \ln R_2 - R_1^2 \ln R_1}{R_2^2 - R_1^2} \right]$
$c_4 = -\frac{(1 + \nu) R_2^2 R_1^2}{2 (R_2^2 - R_1^2) \ln \left( \frac{R_2}{R_1} \right)}$

所以一阶约旦形式特征向量为：
$\psi_0^{(1)} = \begin{cases}
c_3 \rho + c_4 \frac{1}{\rho} + \frac{1 - \nu}{2} \rho \ln \rho \
0 \
0 \
\frac{E}{1 - \nu} c_3 \rho + \frac{E}{1 + \nu} c_4 \frac{1}{\rho} + \frac{E}{2} \rho \left( \ln \rho + \frac{2 - \nu}{1 - \nu} \right)
\end{cases}$ (7.6.28)

它不是原问题 (7.6.10) 的解，实际解为 $v_0^{(1)} = \psi_0^{(1)} + \phi \psi_0^{(0)}$，物理上解释为曲梁的纯弯曲。由于特征向量 $\psi_0^{(1)}$ 和 $\psi_0^{(0)}$ 是相互辛伴随的，二阶约旦形式特征向量不存在。

4. $\mu = \pm i$ 的特征解

为得到非零特征值的特征解，将特征值方程 (7.6.13) 展开为：
$\begin{cases}
- \mu u_{\rho} + u_{\phi} - \frac{du_{\phi}}{d\xi} + \frac{2(1 + \nu)}{E} S_{\rho \phi} + 0 = 0 \
- u_{\rho} - \nu \frac{du_{\rho}}{d\xi} - \mu u_{\phi} + 0 + \frac{1 - \nu^2}{E} S_{\phi} = 0 \
- E \frac{d^2 u_{\rho}}{d\xi^2} + 0 - \mu S_{\rho \phi} + S_{\phi} - \nu \frac{dS_{\phi}}{d\xi} = 0 \
0 + 0 - S_{\rho \phi} - \frac{dS_{\rho \phi}}{d\xi} - \mu S_{\phi} = 0
\end{cases}$ (7.6.31)

这是关于 $\xi$ 的常微分方程组，可先确定 $\xi$ 方向的特征值 $\lambda$。对应的特征多项式为：
$\det \begin{bmatrix}
- \mu & 1 - \lambda & \frac{2(1 + \nu)}{E} & 0 \
- 1 - \nu \lambda & - \mu & 0 & \frac{1 - \nu^2}{E} \
- E \lambda^2 & 0 & - \mu & 1 - \nu \lambda \
0 & 0 & - 1 - \lambda & - \mu
\end{bmatrix} = 0$ (7.6.32)

展开行列式得 $\lambda^4 - 2(1 - \mu^2) \lambda^2 + (1 + \mu^2)^2 = 0$，解为：
$\lambda_{1,2} = \pm (1 + i \mu)$，$\lambda_{3,4} = \pm (1 - i \mu)$ (7.6.34)

对于 $\mu = \pm i$，除了根 $2$ 和 $-2$ 外还有重根 $0$，通解为：
$\begin{cases}
u_{\rho} = A_1 + A_2 \xi + A_3 e^{2 \xi} + A_4 e^{-2 \xi} \
u_{\phi} = B_1 + B_2 \xi + B_3 e^{2 \xi} + B_4 e^{-2 \xi} \
S_{\rho \phi} = C_1 + C_2 \xi + C_3 e^{2 \xi} + C_4 e^{-2 \xi} \
S_{\phi} = D_1 + D_2 \xi + D_3 e^{2 \xi} + D_4 e^{-2 \xi}
\end{cases}$ (7.6.35)

将式 (7.6.35) 代入式 (7.6.31) 可得系数关系，再代入边界条件 (7.6.8) 可得 $C_1 = C_3 = C_4 = 0$。特征值 $\mu = i$ 对应的特征解为：
$\psi_i^{(0)} = [1, i, 0, 0]^T$ (7.6.39)

特征值 $\mu = -i$ 对应的特征解为：
$\psi_{-i}^{(0)} = [1, -i, 0, 0]^T$ (7.6.40)

原问题 (7.6.10) 的解分别为 $v_i^{(0)} = e^{i \phi} \psi_i^{(0)}$ 和 $v_{-i}^{(0)} = e^{-i \phi} \psi_{-i}^{(0)}$，它们是相互复共轭的特征解。分离实部和虚部可得：
$v_{iR}^{(0)} = [\cos \phi, - \sin \phi, 0, 0]^T$ (7.6.42a)
$v_{iI}^{(0)} = [\sin \phi, \cos \phi, 0, 0]^T$ (7.6.42b)

它们对应于两个垂直方向的刚体平移。

由于 $\psi_i^{(0)}$ 和 $\psi_{-i}^{(0)}$ 是辛正交的，存在下一阶约旦形式解。对于 $\mu = i$ 的一阶特征解，方程为：
$H \psi_i^{(1)} = i \psi_i^{(1)} + \psi_i^{(0)}$ (7.6.43)

这是一个非齐次方程，对应的齐次方程通解由式 (7.6.35) - (7.6.37) 给出，非齐次方程的特解为：
$\left[ \frac{2}{1 - \nu} i \xi, \frac{-1 + \nu + 2 \xi}{1 - \nu}, 0, 0 \right]^T$ (7.6.44)

叠加得到式 (7.6.43) 的通解，代入边界条件 (7.6.8) 可得：
$\psi_i^{(1)} = \left[ i u_{\rho}^{(1)}, u_{\phi}^{(1)}, S_{\rho \phi}^{(1)}, i S_{\phi}^{(1)} \right]^T$

其中：
$\begin{cases}
u_{\rho}^{(1)} = \frac{1}{2(1 - \nu)} \xi + a (1 - 3 \nu) e^{2 \xi} + b (1 + \nu) e^{-2 \xi} \
u_{\phi}^{(1)} = - \frac{1}{2} [1 + \nu + (1 - \nu) \xi] + a (5 + \nu) e^{2 \xi} + b (1 + \nu) e^{-2 \xi} \
S_{\rho \phi}^{(1)} = E \left( \frac{1}{2} + 2 a e^{2 \xi} - 2 b e^{-2 \xi} \right) \
S_{\phi}^{(1)} = E \left( \frac{1}{2} + 6 a e^{2 \xi} + 2 b e^{-2 \xi} \right)
\end{cases}$

$a = - \frac{1}{4 (R_1^2 + R_2^2)}$，$b = - a R_1^2 R_2^2$

原问题的解为 $v_i^{(1)} = e^{i \phi} (\psi_i^{(1)} + \phi \psi_i^{(0)})$。将其复数表达式分离实部和虚部可得实解：
$v_{iR}^{(1)} = \begin{cases}
\phi \cos \phi - u_{\rho}^{(1)} \sin \phi \
- \phi \sin \phi + u_{\phi}^{(1)} \cos \phi \
S_{\rho \phi}^{(1)} \cos \phi \
- S_{\phi}^{(1)} \sin \phi
\end{cases}$
$v_{iI}^{(1)} = \begin{cases}
\phi \sin \phi + u_{\rho}^{(1)} \cos \phi \
\phi \cos \phi + u_{\phi}^{(1)} \sin \phi \
S_{\rho \phi}^{(1)} \sin \phi \
S_{\phi}^{(1)} \cos \phi
\end{cases}$ (7.6.49)

除了零特征值的特征解 (7.6.23) 和 (7.6.29) 外，$\mu = \pm i$ 的特征解 (7.6.43) 和 (7.6.49) 也不能用圣维南原理涵盖，这六个解构成了曲梁弯曲问题的基本解。类似于直梁，曲梁的弯曲问题可通过这六个特征解 $\psi_0^{(0)}$、$\psi_0^{(1)}$、$\psi_i^{(0)}$、$\psi_{-i}^{(0)}$、$\psi_i^{(1)}$ 和 $\psi_{-i}^{(1)}$ 展开来求解，根据圣维南原理忽略所有随距离衰减的局部效应。

5. 一般非零特征值的特征解

前面分析了 $\mu = 0$ 和 $\mu = \pm i$ 的非衰减特征解。对于 $\mu \neq 0, \pm i$ 的情况，由式 (7.6.34) 有四个不同的根，通解为：
$\begin{cases}
u_{\rho} = A_1 e^{\lambda_1 \xi} + A_2 e^{\lambda_2 \xi} + A_3 e^{\lambda_3 \xi} + A_4 e^{\lambda_4 \xi} \
u_{\phi} = B_1 e^{\lambda_1 \xi} + B_2 e^{\lambda_2 \xi} + B_3 e^{\lambda_3 \xi} + B_4 e^{\lambda_4 \xi} \
S_{\rho \phi} = C_1 e^{\lambda_1 \xi} + C_2 e^{\lambda_2 \xi} + C_3 e^{\lambda_3 \xi} + C_4 e^{\lambda_4 \xi} \
S_{\phi} = D_1 e^{\lambda_1 \xi} + D_2 e^{\lambda_2 \xi} + D_3 e^{\lambda_3 \xi} + D_4 e^{\lambda_4 \xi}
\end{cases}$ (7.6.50)

常数并非独立，需满足式 (7.6.13)。若选择 $A_j$（$j = 1, 2, 3, 4$）作为独立常数，则常数之间的关系为：
$\begin{cases}
B_j = \frac{(1 + \lambda_j) \lambda_j^2 - (1 + \nu \mu^2) \lambda_j - \mu^2 - 1}{\mu (\mu^2 + 1 + \lambda_j - \nu \lambda_j - \nu \lambda_j^2)} A_j \
C_j = \frac{- E \mu \lambda_j^2}{\mu^2 + 1 + \lambda_j - \nu \lambda_j - \nu \lambda_j^2} A_j \
D_j = \frac{E \lambda_j^2 (1 + \lambda_j)}{\mu^2 + 1 + \lambda_j - \nu \lambda_j - \nu \lambda_j^2} A_j
\end{cases}$ ($j = 1, 2, 3, 4$) (7.6.51)

将式 (7.6.49) 和 (7.6.50) 代入边界条件 (7.6.8) 得到一组四个齐次方程，令系数行列式为零得到特征值 $\mu$ 的超越方程。将特征值代入齐次方程可得常数 $A_j$（$j = 1, 2, 3, 4$）之间的比值，从而确定相应的特征向量。得到特征向量后，可应用展开定理推导解，求解过程与前面类似，此处省略细节。

6. 薄板弯曲的哈密顿系统

薄板是重要的结构元件，薄板力学的求解一直是固体力学的重要研究领域。厚度与最小特征尺寸之比大于 1/5 的板称为厚板，小于 1/80 的称为薄膜板，介于 1/80 和 1/5 之间的称为薄板。将薄板分成两等份的中间平面称为中性面，通常将中性面设为 $xy$ 平面，$z$ 轴正方向向下。

若薄板在作用于中性面的外部载荷下稳定，成为平面应力问题；若所有外部载荷垂直于中性面，则主要发生弯曲变形，中性面上各点的 $z$ 方向位移称为板的挠度。若挠度小于或等于厚度的 1/5，则为小挠度问题。

薄板小挠度理论的基本假设由基尔霍夫首先建立，称为基尔霍夫假设。该假设指出，垂直于中性面的直线在变形后仍保持直线且垂直于挠曲面，并且直线长度在变形前后不变，即横向不可伸长。根据此假设可得：
$\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = \varepsilon_z = 0$ (8.1.1)

由此可推断，在弯曲过程中中性面上各点只有横向位移 $w$，中性面上沿 $x$ 和 $y$ 方向无位移，即：
$(u) {z = 0} = (v) {z = 0} = 0$，$(w)_{z = 0} = w(x, y)$ (8.1.2)

由于 $\varepsilon_z = 0$，位移 $w$ 与横向 $z$ 坐标无关，仅是平面坐标 $x$ 和 $y$ 的函数，即 $w = w(x, y)$。由 $\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$ 和几何关系可得：
$\frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{\partial w}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial z} = - \frac{\partial w}{\partial y}$ (8.1.4)

对上述表达式关于 $z$ 积分并利用式 (8.1.2) 可得：
$u = - z \frac{\partial w}{\partial x}$，$v = - z \frac{\partial w}{\partial y}$ (8.1.5)

进一步应用几何关系可得：
$\begin{cases}
\varepsilon_x = - z \kappa_x \
\varepsilon_y = - z \kappa_y \
\gamma_{xy} = 2 z \kappa_{xy}
\end{cases}$ (8.1.6)

其中：
$\kappa_x = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}$，$\kappa_y = \frac{\partial^2 w}{\partial y^2}$，$\kappa_{xy} = - \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}$ (8.1.7)

分别为板的曲率和扭转曲率。式 (8.1.7) 可表示为算子矩阵形式：
$\kappa = K(\partial) w$ (8.1.7’)

其中：
$\kappa = [\kappa_y, \kappa_x, \kappa_{xy}]^T$，$K(\partial) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2}{\partial y^2} \
\frac{\partial^2}{\partial x^2} \
- \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}
\end{bmatrix}$ (8.1.9)

由式 (8.1.5) 和 (8.1.6) 可知，位移 $u$、$v$ 和应变分量 $\varepsilon_x$、$\varepsilon_y$、$\gamma_{xy}$ 沿板的厚度呈线性分布，这些量在中性面上为零，在上下表面达到最大值。

由于垂直于中性面的正应力与 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 和 $\tau_{xy}$ 相比非常小且可忽略，应力 - 应变关系可简化为：
$\begin{cases}
\sigma_x = \frac{E}{1 - \nu^2} (\varepsilon_x + \nu \varepsilon_y) \
\sigma_y = \frac{E}{1 - \nu^2} (\varepsilon_y + \nu \varepsilon_x) \
\tau_{xy} = \frac{E}{2(1 + \nu)} \gamma_{xy}
\end{cases}$ (8.1.10)

将式 (8.1.6) 代入式 (8.1.10) 可得：
$\begin{cases}
\sigma_x = - \frac{E z}{1 - \nu^2} (\kappa_x + \nu \kappa_y) \
\sigma_y = - \frac{E z}{1 - \nu^2} (\kappa_y + \nu \kappa_x) \
\tau_{xy} = \frac{E z}{1 + \nu} \kappa_{xy}
\end{cases}$ (8.1.11)

板的矩形微分单元由两对平行于 $xz$ 和 $yz$ 坐标平面的平面形成，单元侧面的正应力产生一对力（即弯矩），单位长度的弯矩为：
$\begin{cases}
M_x = \int_{-h/2}^{h/2} (-\sigma_x z) dz = D (\kappa_x + \nu \kappa_y) \
M_y = \int_{-h/2}^{h/2} (-\sigma_y z) dz = D (\kappa_y + \nu \kappa_x)
\end{cases}$ (8.1.12)

其中 $D$ 为板的抗弯刚度，表达式为：
$D = \frac{E h^3}{12(1 - \nu^2)}$ (8.1.13)

剪应力 $\tau_{xy}$ 也产生一对力（即扭矩），单位长度的扭矩为：
$M_{xy} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xy} z dz = D (1 - \nu) \kappa_{xy}$ (8.1.14)

将式 (8.1.12) 和 (8.1.14) 组合得到弯矩 - 曲率关系：
$m = C \kappa$ 或 $\kappa = C^{-1} m$ (8.1.15)

其中：
$m = [M_y, M_x, 2 M_{xy}]^T$，$C = D \begin{bmatrix}
1 & \nu & 0 \
\nu & 1 & 0 \
0 & 0 & 2(1 - \nu)
\end{bmatrix}$ (8.1.17)

用曲率表示的应变能密度为：
$v_{\varepsilon}(\kappa) = \frac{1}{2} \kappa^T C \kappa = \frac{1}{2} D [\kappa_x^2 + \kappa_y^2 + 2 \nu \kappa_x \kappa_y + 2(1 - \nu) \kappa_{xy}^2]$ (8.1.18)

弯矩 - 曲率关系 (8.1.15) 也可通过应变能密度表示为：
$m = \frac{\partial v_{\varepsilon}(\kappa)}{\partial \kappa} = C \kappa$ (8.1.19)

对应变能密度 $v_{\varepsilon}$ 的所有独立变量 $\kappa$ 进行勒让德变换，引入应变余能密度：
$v_c(m) = m^T \kappa - v_{\varepsilon}(\kappa) = \frac{1}{2} m^T C^{-1} m = \frac{6}{E h^3} [M_x^2 + M_y^2 - 2 \nu M_x M_y + 2(1 + \nu) M_{xy}^2]$ (8.1.20)

则曲率 $\kappa$ 可表示为：
$\kappa = \frac{\partial v_c(m)}{\partial m} = C^{-1} m$ (8.1.21)

除了弯矩，板单元侧面还存在剪力：
$F_{Sx} = \int_{-h/2}^{h/2} (-\tau_{xz}) dz$，$F_{Sy} = \int_{-h/2}^{h/2} (-\tau_{yz}) dz$ (8.1.22)

根据式 (8.1.1)，若直接应用应力 - 应变关系，$\tau_{xz}$、$\tau_{yz}$ 应为零，但实际上它们是与 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 和 $\tau_{xy}$ 相比的高阶量，对变形的影响可忽略，但对保证平衡是必要的，其值可由平衡方程确定。

考虑一个边长为 $dx$、$dy$ 且厚度为 $h$ 的矩形微分板单元，板上有横向载荷 $q(x, y)$。将所有作用在单元上的力投影到 $z$ 轴上，得到平衡方程：
$\frac{\partial F_{Sx}}{\partial x} + \frac{\partial F_{Sy}}{\partial y} - q = 0$ (8.1.23)

以 $y$ 轴为轴取所有作用在单元上的力的矩并忽略高阶小量，得到平衡方程：
$\frac{\partial M_x}{\partial x} - \frac{\partial M_{xy}}{\partial y} - F_{Sx} = 0$ (8.1.24)

同理可得：
$\frac{\partial M_y}{\partial y} - \frac{\partial M_{xy}}{\partial x} - F_{Sy} = 0$ (8.1.25)

由于单元上在 $x$ 和 $y$ 方向没有力，绕 $z$ 轴没有矩，式 (8.1.23) - (8.1.25) 完全定义了单元的平衡状态，即它们是板弯曲的内力平衡方程。将式 (8.1.24) 和 (8.1.25) 代入式 (8.1.23)，得到用弯矩和扭矩表示的平衡方程：
$\frac{\partial^2 M_x}{\partial x^2} - 2 \frac{\partial^2 M_{xy}}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 M_y}{\partial y^2} = q$ (8.1.26)

用算子矩阵 $\hat{K}(\partial) = \left[ \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial x^2}, - \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \right]$ 表示为：
$\hat{K}(\partial) m = q$ (8.1.28)

最后，将弯矩 - 曲率关系 (8.1.15) 和曲率 - 挠度关系 (8.1.7) 代入上式，得到薄板弯曲用位移表示的基本控制方程：
$\nabla^2 \nabla^2 w = \frac{q}{D}$ (8.1.29)

其中 $\nabla^2$ 是二维拉普拉斯算子：
$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ (8.1.30)

对于薄板的各种边界条件，以矩形板为例，假设 $x$ 和 $y$ 轴平行于板的边，关注 $y = b$ 处的边 $AB$。从静力学角度看，分布扭矩等效于剪力。作用在长度为 $dx$ 的一侧的扭矩 $M_{xy} dx$ 可等效地用作用在两侧的两个大小为 $M_{xy}$ 的力代替，相邻长度为 $dx$ 的一侧的扭矩 $[M_{xy} + (\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}) dx] dx$ 可等效地用作用在两侧的两个大小为 $M_{xy} + (\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}) dx$ 的力代替。在相交边界上的合力为 $(\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}) dx$，可将其用沿 $dx$ 分布的剪力 $\frac{\partial M_{xy}}{\partial x}$ 代替。与原来的横向剪力 $F_{Sy}$ 结合，得到边 $AB$ 上的总等效剪力为：
$F_{Vy} = F_{Sy} - \frac{\partial M_{xy}}{\partial x}$ (8.1.31)

综上所述，极坐标下平面弹性问题和薄板弯曲问题都可以通过哈密顿系统进行深入分析，利用特征值和特征向量的求解方法，结合相应的假设和原理，能够得到问题的有效解决方案，为实际工程中的结构分析提供了重要的理论基础。

总结

本文围绕极坐标下平面弹性问题和薄板弯曲问题展开，详细阐述了哈密顿系统在其中的应用。在极坐标平面弹性问题中，介绍了不同区域刚度矩阵的求解方法，以及以圆周坐标为“时间”构建哈密顿系统，求解了零特征值、$\mu = \pm i$ 和一般非零特征值的特征解，这些特征解对于分析结构的力学行为如刚体转动、曲梁弯曲等具有重要意义。在薄板弯曲问题中，基于基尔霍夫假设推导了薄板小挠度理论的一系列方程，包括应力 - 应变关系、弯矩 - 曲率关系和平衡方程等，最终得到用位移表示的基本控制方程。通过这些分析，我们能够更深入地理解结构在不同载荷和边界条件下的力学响应，为工程设计和结构分析提供了有力的理论支持。

展望

未来的研究可以进一步拓展这些理论在复杂结构和实际工程问题中的应用。例如，在极坐标平面弹性问题中，可以考虑更复杂的材料特性和加载条件；在薄板弯曲问题中，可以研究不同边界条件和几何形状对薄板力学性能的影响。此外，还可以探索如何将这些理论与数值计算方法相结合，提高求解的效率和精度，为实际工程问题提供更有效的解决方案。

极坐标下平面弹性问题与薄板弯曲问题的哈密顿系统分析

7. 薄板弯曲问题的变分原理与哈密顿系统的应用

薄板弯曲问题除了通过上述的基本方程求解外，还可以利用变分原理和哈密顿系统进行更深入的分析。通过引入类比理论，将平面弹性问题和薄板弯曲问题进行类比，从而可以将哈密顿系统及其辛几何理论直接应用到薄板弯曲问题中。

首先，建立薄板弯曲的Pro - H - R变分原理和Pro - Hu–Washizu变分原理。这些变分原理可以推导出薄板弯曲和平面弹性的多变量变分原理，为问题的求解提供了更多的途径。

基于这些变分原理，可以构建薄板弯曲问题的哈密顿系统。通过将薄板的位移、内力等变量进行合理的组合，形成类似于平面弹性问题中的全状态向量，进而得到哈密顿算子矩阵。

以下是薄板弯曲问题哈密顿系统构建的关键步骤：
1. 定义变量 ：设薄板的挠度为 $w(x, y)$，弯矩向量 $m = [M_y, M_x, 2M_{xy}]^T$，剪力向量 $F_S = [F_{Sx}, F_{Sy}]^T$ 等。
2. 建立能量泛函 ：根据薄板的应变能、外力势能等建立能量泛函，例如应变能密度 $v_{\varepsilon}(\kappa)$ 和应变余能密度 $v_c(m)$ 等。
3. 引入对偶变量 ：确定位移和内力的对偶变量，形成全状态向量。
4. 推导哈密顿方程 ：通过变分原理，得到哈密顿对偶方程，如 $\dot{q} = Aq + Dp$ 和 $\dot{p} = Bq - A^T p$ 的形式。

通过这样的步骤，可以将薄板弯曲问题转化为哈密顿系统的求解问题，利用哈密顿系统的特性，如特征值和特征向量的性质，来求解薄板的力学响应。

8. 哈密顿系统在薄板弯曲问题中的优势

将哈密顿系统应用于薄板弯曲问题具有以下显著优势：
|优势|说明|
|----|----|
|系统性|哈密顿系统提供了一个统一的框架，将薄板的位移、内力等变量进行系统的处理，使得问题的求解更加有条理。|
|精确性|通过求解哈密顿系统的特征值和特征向量，可以得到精确的解，尤其是对于一些复杂的边界条件和加载情况。|
|物理意义明确|特征值和特征向量具有明确的物理意义，例如零特征值的特征解对应刚体转动和曲梁的纯弯曲等，有助于深入理解薄板的力学行为。|
|可扩展性|可以方便地扩展到更复杂的问题，如考虑材料的非线性、薄板的动态响应等。|

9. 实际工程中的应用案例

在实际工程中，薄板结构广泛应用于航空航天、建筑、机械等领域。以下是哈密顿系统在薄板弯曲问题中的一些应用案例：
- 航空航天领域 ：飞机机翼、航天器的外壳等通常采用薄板结构。通过哈密顿系统分析，可以准确预测薄板在飞行过程中的弯曲变形，为结构的设计和优化提供依据。
- 建筑领域 ：建筑物的屋顶、幕墙等薄板结构在风荷载、雪荷载等作用下会发生弯曲变形。利用哈密顿系统可以评估结构的安全性和可靠性，指导结构的设计和加固。
- 机械领域 ：机械零件中的薄板部件，如汽车发动机的缸盖、机床的工作台等，在工作过程中会承受各种载荷。通过哈密顿系统分析，可以优化零件的设计，提高其性能和寿命。

10. 总结与展望

本文详细介绍了极坐标下平面弹性问题和薄板弯曲问题的哈密顿系统分析方法。在极坐标平面弹性问题中，通过解析方法和哈密顿系统求解不同特征值的特征解，为结构的力学分析提供了重要的理论基础。在薄板弯曲问题中，基于基尔霍夫假设和变分原理，构建了哈密顿系统，实现了问题的有效求解。

展望未来，随着工程技术的不断发展，对于复杂结构的力学分析需求越来越高。哈密顿系统作为一种强大的分析工具，具有广阔的应用前景。未来的研究可以集中在以下几个方面：
- 拓展理论应用 ：将哈密顿系统应用到更复杂的结构和材料中，如复合材料薄板、多层薄板结构等。
- 结合数值方法 ：将哈密顿系统与有限元法、边界元法等数值计算方法相结合，提高求解的效率和精度。
- 考虑动态响应 ：研究薄板在动态载荷作用下的力学响应，如振动、冲击等，为结构的动态设计提供理论支持。

通过不断的研究和创新，哈密顿系统将在工程结构的力学分析中发挥更加重要的作用，为实际工程问题提供更加有效的解决方案。

薄板弯曲问题哈密顿系统构建流程图

graph TD
    A[定义变量] --> B[建立能量泛函]
    B --> C[引入对偶变量]
    C --> D[推导哈密顿方程]
    D --> E[求解特征值和特征向量]
    E --> F[得到薄板力学响应]

哈密顿系统在不同领域应用总结

领域	应用场景	优势体现
航空航天	飞机机翼、航天器外壳	精确预测变形，指导结构设计和优化
建筑	屋顶、幕墙	评估安全性和可靠性，指导设计和加固
机械	汽车发动机缸盖、机床工作台	优化零件设计，提高性能和寿命