11、平面各向异性弹性问题的辛求解方法

平面各向异性弹性问题的辛求解方法

1. 引言

在弹性力学领域，各向异性材料的结构分析是复合材料研究的基础。与各向同性问题相比，各向异性弹性问题的求解更为复杂。本文将介绍基于辛体系的各向同性弹性力学，如何将哈密顿系统进一步扩展到平面各向异性弹性问题，并建立完整的辛求解方法。

2. 平面各向异性弹性问题的基本方程

2.1 平面应力与平面应变问题的简化条件

在各向同性弹性力学中，对于厚度恒定的薄板，若体力和边界力平行于板面且沿厚度方向恒定，则可简化为平面应力问题；对于长圆柱体，若体力和边界力平行于横截面且沿纵向恒定，则可简化为平面应变问题。然而，对于各向异性体，这些特定的几何和加载条件并非简化为平面弹性问题的充分条件，各向异性材料需有与载荷平面一致的弹性对称面，才能近似视为平面弹性问题。

2.2 平面应力问题

考虑厚度恒定的薄板，其材料在任意点都有平行于板面的弹性对称面。设(Oxz)平面为板的中面，体力和边界力平行于该平面且沿厚度方向恒定，几何约束也沿厚度方向恒定。此类问题可近似简化为平面应力问题，需求解八个物理量：位移(u)、(w)，应变(\varepsilon_x)、(\varepsilon_z)、(\gamma_{xz})，应力(\sigma_x)、(\sigma_z)、(\tau_{xz})。与各向同性问题的唯一区别在于应力 - 应变关系：
(\begin{cases}
\varepsilon_x \
\varepsilon_z \
\gamma_{xz}
\end{cases} =
\begin{bmatrix}
s_{11} &