26、线性系统与电路的伴随灵敏度分析：原理、方法与应用

线性系统与电路的伴随灵敏度分析：原理、方法与应用

在工程领域，尤其是电气工程中，灵敏度分析是一项至关重要的技术，它能够帮助我们了解系统响应随参数变化的情况。伴随灵敏度分析作为一种高效的灵敏度分析方法，在处理线性系统和电路问题时具有显著的优势。本文将详细介绍伴随灵敏度分析在频域和时域中的应用，通过具体的例子展示其原理和操作步骤。

频域伴随灵敏度分析

在频域中，我们常常会遇到线性方程组的灵敏度分析问题。考虑一个线性方程组：
[Z(x)I = V]
其中，(Z \in C^{m\times m}) 是系统矩阵，其元素是参数 (x) 的函数；(I) 是状态变量向量，可能代表电流或电场值；(V) 是激励向量，可能代表电压源或入射电场向量。

经典的梯度估计方法是对每个参数 (x_i) 进行扰动，然后求解扰动后的线性方程组，使用有限差分法估计响应的灵敏度。这种方法需要至少 (n) 次矩阵构造和矩阵求逆操作。

而伴随变量方法则更为高效。通过对上述方程关于 (x_i) 求导，我们可以得到状态变量的导数：
[\frac{\partial I}{\partial x_i} = Z^{-1} \left(\frac{\partial V}{\partial x_i} - \frac{\partial (Z\bar{I})}{\partial x_i}\right)]
响应 (f(x, I)) 关于 (x_i) 的导数为：
[\frac{\partial f}{\partial x_i} = \frac{\partial \bar{f}}{\partial x_i} + \left(\frac{\partial f}{\partial