6、线性规划中的单纯形法详解

线性规划中的单纯形法详解

在解决线性规划问题时，单纯形法是一种非常有效的算法。下面将详细介绍单纯形法的相关内容，包括成本降低原理、经典单纯形法步骤、如何启动单纯形法等，并结合具体的例子进行说明。

1. 成本降低原理

单纯形算法的基本思想是从一个基本可行解移动到另一个基本可行解，使得目标函数值不断降低，直到无法再降低，此时就达到了最优解。

从一个具有基本可行解的增广规范形式开始，通过基本行操作创建另一个增广规范矩阵，得到一个新的基本可行解，并且使成本函数的值更优。

为了确保新解的目标函数值更优，需要检查当第 $q$ 列进入可行基时，目标函数值的改进情况。

• 原目标函数值 ：在原可行基下，目标函数值为 $f_0 = c_1x_1 + c_1x_1 + \cdots + c_mx_m = c^Tx$。
• 新目标函数值 ：将第 $q$ 列以值 $a$ 加入可行集，替换第 $p$ 个变量，新解为 $[(x_1 - aa_{1q}) (x_2 - aa_{2q}) \cdots (x_m - aa_{mq}) 0 \cdots a \cdots 0]^T$，新目标函数值为 $f = c_1(x_1 - aa_{1q}) + c_2(x_2 - aa_{2q}) + \cdots + c_m(x_m - aa_{mq}) + c_qa$。
• 相对成本 ：将上式整理可得 $f = f_0 + a \left( c_q - \sum_{i = 1, i \neq q}^{n} a_{iq}c