【裴礼文数学分析】例1.2.4

最新推荐文章于 2023-09-13 13:07:08 发布

原创最新推荐文章于 2023-09-13 13:07:08 发布 · 636 阅读

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博客内容涉及一个数学证明，通过放缩法简化了直接处理的复杂性。当条件满足时，使用平方差放缩，得到不等式。证明过程中提到在特定情况下不等式成立，并指出可以采用特定值来验证。博主分享了自己的分步做法，欢迎读者分享更简洁的证明方法。

题面：

证明： $\lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{\frac{7}{16x^{2}-9}}=1$

简证（分析）：

寻找 $\delta>0$

$\left | \sqrt{\frac{7}{16x^{2}-9}}-1 \right |<\varepsilon$

直接处理麻烦，可以放缩一下：

左式< $\left | {\frac{7}{16x^{2}-9}}-1 \right |$ (平方差)

进而有 $x\in (0,2)$ 时

$\left | {\frac{7}{16x^{2}-9}}-1 \right |=16\left | \frac{\left | x+1 \right |\left | x-1 \right |}{(4x+3)(4x-3)} \right |<16\left | \frac{x-1}{4x-3} \right |$

$x\in(\frac{7}{8},\frac{9}{8})$ 时

$16\left | \frac{x-1}{4x-3} \right |<32\left | x-1 \right |$

取 $\delta=min\left (\frac{1}{8}{}, \frac{\varepsilon }{32} \right )$ 即可

注：本人分步做法和书中做法一样，如果有更简洁的方法可以留言~

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