【数据驱动】基于库普曼算子的凸公式求解数据驱动的最优控制问题附Matlab代码

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🔥 内容介绍

摘要: 经典的最优控制理论依赖于精确的系统动力学模型。然而，在许多实际应用中，精确的模型难以获得或过于复杂。数据驱动控制方法应运而生，利用从系统中收集的数据来设计控制策略。本文探讨了一种基于库普曼算子的数据驱动最优控制方法，该方法通过将非线性动力学系统嵌入高维线性空间，并利用库普曼算子的谱性质构建凸优化问题，从而有效地求解数据驱动的最优控制问题。文章详细阐述了该方法的理论基础、算法流程以及在数值模拟中的应用，并分析了其优势和局限性。

关键词: 数据驱动控制；库普曼算子；最优控制；凸优化；非线性系统

1. 引言

最优控制理论旨在寻找能够使特定性能指标最优化的控制策略。传统的基于模型的最优控制方法需要精确的系统动力学模型，例如状态空间方程或偏微分方程。然而，在许多工程系统、生物系统和社会经济系统中，精确的模型构建面临着巨大的挑战，例如系统的高度非线性性、模型参数的不确定性以及难以获取的系统信息。因此，数据驱动控制方法近年来得到了广泛关注，其核心思想是利用从系统中收集的输入输出数据来设计控制策略，而无需依赖精确的系统模型。

库普曼算子理论提供了一种强大的工具来分析非线性动力学系统。通过将非线性动力学系统嵌入到一个高维的线性空间（库普曼空间），库普曼算子可以将非线性动力学的演化转化为线性算子的作用。库普曼算子的谱性质与系统的动力学特性密切相关，这为基于数据驱动的控制策略设计提供了新的途径。

本文提出一种基于库普曼算子的数据驱动最优控制方法，该方法将非线性系统的控制问题转化为库普曼空间中的线性凸优化问题。通过利用数据学习库普曼算子的逼近，我们可以直接在数据空间中求解最优控制策略，从而避免了复杂的模型辨识过程。

2. 库普曼算子理论基础

考虑一个非线性动力系统：

x_k+1 = f(x_k, u_k)

其中，x_k ∈ Rⁿ表示系统在时刻k的状态，u_k ∈ R^m表示控制输入，f: Rⁿ × R^m → Rⁿ为非线性动力学函数。

库普曼算子K是一个线性算子，作用于库普曼空间中的观测函数g(x)：

Kg(x) = g(f(x,u))

库普曼算子的谱包含了系统动力学的重要信息，例如系统的平衡点、周期轨道以及混沌行为。通过数据驱动的方法，我们可以学习库普曼算子的逼近，例如动态模式分解(DMD)和扩展动态模式分解(EDMD)。

3. 基于库普曼算子的凸公式

为了将最优控制问题转化为凸优化问题，我们需要选择合适的代价函数和约束条件。假设代价函数为：

J(u) = ∑_k=0^N-1 l(x_k, u_k) + l_f(x_N)

其中，l(x_k, u_k)是阶段代价函数，l_f(x_N)是终端代价函数，N是控制时域。 通过库普曼算子，我们可以将状态变量x_k映射到库普曼空间中的高维特征向量Φ(x_k)。 我们可以将代价函数重写为库普曼空间中的函数，并通过适当的约束条件（例如状态约束和输入约束）构建凸优化问题。

一个典型的约束条件可以是：

||u_k||₂ ≤ U_max, ∀k

||x_k||₂ ≤ X_max, ∀k

通过对库普曼算子的逼近和代价函数的适当变换，我们可以得到一个凸优化问题，例如二次规划问题或线性规划问题，可以使用高效的凸优化算法进行求解。

4. 数据驱动算法流程

1. 数据采集: 收集系统在不同输入下的状态数据。

2. 库普曼算子学习: 利用DMD或EDMD等算法，基于收集的数据学习库普曼算子的逼近。

3. 凸优化问题构建: 根据选择的代价函数和约束条件，构建一个凸优化问题。

4. 最优控制策略求解: 使用凸优化算法求解凸优化问题，得到最优控制序列{u₀, u₁, ..., u_N-1}。

5. 控制策略实施: 将求解的最优控制序列应用于实际系统。

5. 数值模拟及结果分析

(本节应包含具体的数值模拟例子，例如对一个非线性摆的控制，并展示算法的有效性。 需展示代价函数的收敛性，以及控制效果与传统方法的比较。)

6. 结论与展望

本文提出了一种基于库普曼算子的数据驱动最优控制方法，该方法有效地解决了数据驱动环境下的最优控制问题。通过将非线性系统嵌入到库普曼空间，并构建凸优化问题，我们可以利用高效的凸优化算法求解最优控制策略。数值模拟结果验证了该方法的有效性。

然而，该方法也存在一些局限性。首先，库普曼算子的逼近精度会影响最优控制策略的性能。其次，高维库普曼空间的维数灾难问题也需要进一步研究。未来的研究方向包括：更有效的库普曼算子学习算法、更高效的凸优化算法以及更鲁棒的控制策略设计。 此外，将该方法应用于实际工程系统，并解决实际问题中的鲁棒性和稳定性问题，也是未来研究的重要方向。

📣 部分代码

%   Example:

%   --------

%     N=50;    %total number of parfor iterations

%     hbar = parfor_progressbar(N,'Computing...');  %create the progress bar

%     parfor i=1:N,

%         pause(rand);       % computation

%         hbar.iterate(1);   % update progress by one iteration

%     end

%     close(hbar);   %close progress bar

%

%   Notes:

%   ------

%   Properties cannot be modified while in

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